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視頻標簽：冪函數
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教B版版必修一3.3冪函數-錦州
教學設計、課堂實錄及教案：高中數學人教B版版必修一3.3 冪函數-錦州市第一高級中學
冪函數
一、教學目標
1.通過生活實例引出冪函數的概念,會畫冪函數的圖象,通過觀察圖象,了解冪函數圖象的變化情況和性質
2.了解幾個常見的冪函數的性質,通過這幾個冪函數的性質,總結冪函數的性質,通過畫圖比較,使學生進一步體會數形結合的思想
3.應用冪函數的圖象和性質解決有關簡單問題,培養學生觀察分析歸納能力,了解類比法在研究問題中的作用,培養學生運用具體問題具體分析的方法去分析和解決問題的能力. 二、教學重難點
1、教學重點:從五個具體的冪函數中認識冪函數的概念和性質. 2、教學難點:冪函數的性質. 三、教具：多媒體[來源:Z+xx+k.Com] 四、學法指導：數形結合，從特殊到一般 五、教學設計 （一）、導入新課
1、前面我們已經學習過正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等，這類函數有什么特點呢？
2、問題情境
寫出下列y關于x的函數解析式
(1)如果正方形的邊長為x，那么正方形面積y=？ (2)如果正方體的棱長為x，那么正方體體積y=？
(3)如果正方形場地的面積為x，那么正方形的邊y=？ (4)某人騎車x秒內勻速前進1km,騎車速度為y=? 以上問題中的函數有什么共同特征？ （二）、探索新知
觀察分析上述函數的解析式，給這類函數命名。
（1）底數為自變量； （2）指數為常數； （3）系數為1
一般地，我們把形如y=xα的函數叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數.
如y=x2
,y=x2
1
,y=x3等都是冪函數,冪函數與指數函數、對數函數一樣,都是基本初等函數.
師生共同辨析這種新函數與指數函數的異同．應說明：冪函數的定義來自于實踐，它同指數函數、對數函數一樣，也是基本初等函數，同樣也是一種“形式定義”的函數，引導學生注意辨析．
（三）、理解應用
1、下列函數是冪函數的是＿＿＿
② ③ ④
2、若函數 是冪函數，則 a 的值為＿
引導學生觀察圖象，歸納概括冪函數的的性質及圖象變化規律．觀察圖象，分組討論，探究冪函數的性質和圖象的變化規律，并展示各自的結論進行交流評析，并填表．
2、觀察圖象,分組討論,探究冪函數的性質和圖象的變化規律，完成表格 函數性質 y=x
y=x2
y=x3
y=x2
1
y=x-1
定義域 值域 奇偶性 單調性 特殊點 圖象分布
3、總結上述五個函數的圖像及性質 函數
性質 y=x
y=x2
y=x3
y=x2
1
y=x-1
定義
域
R
R R {x|x≥0}[來
源:學&科&網]
{x|x≠0}
值域 R
{y
|y≥0}
R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶
性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
單調
性
在第Ⅰ
象限單調遞增 在第Ⅰ
象限單
調遞增
在第Ⅰ象限單
調遞增
在第Ⅰ象限
單調遞增 在第Ⅰ象限單調遞減
特殊
點 (1,1)
(1,1)
(1,1)[來
源:Zxxk.Com] (1,1)
(1,1) 圖象分布
第Ⅰ、Ⅲ 象限
第Ⅰ、Ⅱ 象限 第Ⅰ、Ⅲ
象限
第Ⅰ象限
第Ⅰ、Ⅲ 象限
（五）、反思提升 1、冪函數的定義及說明 2、冪函數的圖像及特點
（1）、第一象限一定有冪函數的圖象,第四象限一定沒有冪函數的圖象,而第二、三象限可能有,也可能沒有圖象,這時可以通過冪函數和定義域和奇偶性來判斷.
（2）、冪函數y=xa的性質.
①所有的冪函數在（0,+∞）都有定義,并且圖象都過點（1,1）； ②當a＞0時,冪函數的圖象都通過原點,并且在[0,+∞)上是增函數（從左往右看,函數圖象逐漸上升）.[來源:Z+xx+k.Com]
特別地,當a＞1時,x∈（0,1）,y=x2的圖象都在y=x圖象的下方,形狀向下凸,a越大,下凸的程度越大.
當0＜a＜1時,x∈（0,1）,y=x2的圖象都在y=x的圖象上方,形狀向上凸,a越小,上凸的程度越大.[來源:學科網]
③當a＜0時,冪函數的圖象在區間（0,+∞）上是減函數.
在第一象限內,當x向原點靠近時,圖象在y軸的右方無限逼近y軸正半軸,當x慢慢地變大時,圖象在x軸上方并無限逼近x軸的正半軸.
（六）、數學應用
冪函數的簡單應用，利用到了冪函數的單調性。學生獨立思考，給出解答，共同討論、評析．
變式訓練：1. 比較下列各組值的大小
比較大小的題，要綜合考慮函數的性質，特別是單調性的應用，更善于運用搭橋法進行分組，常數0和1是常用的參數。
例2 .試寫出函數 的定義域,奇偶性，做出圖像，求出值域，并指出其單調性.
能力提升
此題考察了冪函數的定義和圖像的性質，主要是為了強化學生對于冪函數的記憶和理解。
有學生自主探究，得出答案。
例1． 比較下列兩個代數式值的大小：
⑴ ， ⑵ ，
5
.11a5
.1a3
2
22
a3
22
334
4
12.3
2.4
332
2
32
3
235
5
44.1,1.92-
3
與3.8
3
2
)(
xxf
變式訓練2．若則實數a的取值范
圍是________． 1．若冪函數的圖象不經過原點，
則實數m的值為________．
（七）、課堂小結
1.通過實例了解冪函數的概念；
2. 掌握 冪函數在第一象限內的圖象特征，并會根據奇偶性完成整個函數的圖象。
3.能夠利用冪函數的性質解決簡單的問題. （八）課后作業
1、求函數22xy的定義域，并指出函數的單調區間。 2、利用冪函數的性質，比較下列各題中兩個冪的值得大小： （1）4
3
3.2，4
34.2 （2）5
631.0，5
635.0； （3）232
，233
（4）211.1
，2
19.0
3、作出函數2
3
xy的圖像，根據圖像 這個函數有哪些性質，并給出證明。 六、教學反思：
冪函數作為一類重要的函數模型，是學生在系統學習了指數函數、對數函數之后研究的又一類基本初等函數。學生已經有了學習指數函數和對數函數的圖象和性質的學習經歷，冪函數概念的引入以及圖象和性質的研究便水到渠成。因此，學習過程中，引入冪函數的概念之
2．冪函數y＝f(x)的圖象過點(4,2)，則冪函數y＝f(x)的圖
象是( )
后，嘗試放手讓學生自己進行合作探究學習。在方法上，我們應注意從特殊到一般進行類比研究冪函數的性質，并注意與指數函數進行對比學習。將冪函數限定為五個具體函數，通過研究它們來了解冪函數的性質。所以本人建議，逐個畫出五個函數的圖象，從定義域、值域、奇偶性、單調性、過定點等方面進行分析、探究，得到各自的性質，從而再歸納出冪函數的基本性質。
除內容本身外，掌握研究函數的一般思想方法也是至關重要的。
視頻來源：優質課網 www.swgszwr.cn
