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視頻標(biāo)簽：直線的點(diǎn)斜式方程
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教版必修二《3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程》山東省
教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)錄及教案：高中數(shù)學(xué)人教版必修二《3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程》山東省青島第十五中學(xué)
《3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程》教學(xué)設(shè)計(jì)
山東省青島第十五中學(xué) 徐真
一、教學(xué)目標(biāo)
1、知識(shí)與技能
（1）理解直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式的形式特點(diǎn)和適用范圍；
（2）掌握由直線上一點(diǎn)和斜率求出直線的方程或由斜率和截距寫出直線的方程的方法
（3）能由直線的方程求斜率和截距。
2、過(guò)程與方法
在已知直角坐標(biāo)系內(nèi)確定一條直線的幾何要素——直線上的一點(diǎn)和直線的傾斜角的基礎(chǔ)上，通過(guò)師生探討，得出直線的點(diǎn)斜式方程；并對(duì)各種特殊形式進(jìn)行研究，再由點(diǎn)斜式經(jīng)過(guò)變形，導(dǎo)出斜截式，并對(duì)它們的應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)單的研究。
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀
通過(guò)讓學(xué)生體會(huì)直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，滲透數(shù)學(xué)中普遍存在相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化等觀點(diǎn)，使學(xué)生能用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題。
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：
（1）重點(diǎn)：直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程。
（2）難點(diǎn)：直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程的應(yīng)用。
三、教學(xué)設(shè)想
教學(xué)過(guò)程 學(xué)生活動(dòng) 教師活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖
一、復(fù)習(xí)檢測(cè) 1. 直線l的傾斜角為135o，則斜率k＝______
2. 過(guò)A(2,5)與x軸垂直的直線的傾斜角為________,斜率________
3. 已知定點(diǎn)A(-1,3)，B(4,2)，C(x,0)，若AC⊥BC，則x＝_____
若AO∥BC，則x＝_______
（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)） 課前復(fù)習(xí) 通過(guò)復(fù)習(xí)檢測(cè)總結(jié)復(fù)習(xí)：1.直線l的斜率與傾斜角α的關(guān)系：k＝tanα
2.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1),
P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式：
3.不重合且斜率都存在的直線l1，l2平行的判定條件： 4.斜率都存在的直線l1，l2垂直的判定條件：
通過(guò)對(duì)知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)，既讓學(xué)生對(duì)前面所學(xué)加以鞏固，又對(duì)本節(jié)知識(shí)做了鋪墊。
教學(xué)過(guò)程 學(xué)生活動(dòng) 教師活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖
二、講解新課 （一）點(diǎn)斜式方程：
【引入】：在直角坐標(biāo)系內(nèi)確定一條直線，應(yīng)知道哪些條件？
推導(dǎo)：直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Po(xo,yo),且斜率為k，設(shè)點(diǎn)P(x,y)是直線上不同于點(diǎn)Po的任意一點(diǎn)，則有 〔x≠xo〕
即 ……⑴
學(xué)生思考回答
黑板作圖
根據(jù)斜率公式，推導(dǎo)出方程（1） 培養(yǎng)學(xué)生自主探索的能力，并體會(huì)直線的方程，就是直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) 滿足的關(guān)系式，從而掌握根據(jù)條件求直線方程的方法。
由以上推導(dǎo)過(guò)程可知，過(guò)點(diǎn)Po(xo,yo)，斜率是k的直線l上的點(diǎn)，其坐標(biāo)都滿足方程⑴；反過(guò)來(lái)，坐標(biāo)滿足方程⑴的點(diǎn)都在過(guò)點(diǎn)Po(xo,yo),且斜率為k的直線l上，所以方程⑴就是過(guò)點(diǎn)Po(xo,yo),且斜率為k的直線l的方程。
說(shuō)明：⑴這個(gè)方程是由直線上一定點(diǎn)和斜率確定的。 思考理解 1.過(guò)點(diǎn) ，斜率是 的直線 上的點(diǎn)，其坐標(biāo)都滿足方程（1）嗎？
2.坐標(biāo)滿足方程（1）的點(diǎn)都在經(jīng)過(guò) ，斜率為 的直線 上嗎？
教師證明，并總結(jié)直線的點(diǎn)斜式方程的定義
……⑴是直線的點(diǎn)斜式方程，簡(jiǎn)稱點(diǎn)斜式。
使學(xué)生了解方程為直線方程必須滿兩個(gè)條件。
例1：直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，3），傾斜角為45 ，求直線l的方程，并畫出直線l
練習(xí)：1.寫出下列直線方程：
⑴過(guò)點(diǎn)A(3,-1)，斜率為 ，則直線方程是_________
⑵過(guò)點(diǎn)B(-4,-2)，傾斜角為120o，則直線方程是_________
學(xué)生練習(xí) 講解例1
說(shuō)明：
⑵當(dāng)直線l傾斜角為0o時(shí)，即k＝0時(shí)，直線l的方程為y－yo＝0或y＝y(tǒng)o
⑶當(dāng)直線l傾斜角為90o時(shí)，即k不存在時(shí)，直線l的方程為x－xo＝0或x＝xo
使學(xué)生理解點(diǎn)斜式方程的適用范圍，掌握特殊直線方程。同時(shí)讓生養(yǎng)成通過(guò)具體題目總結(jié)常用結(jié)論的習(xí)慣。
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二、講解新課 ⑶過(guò)點(diǎn)C(- , )，傾斜角為0o，則直線方程是_________
⑷過(guò)點(diǎn)D(2,5)，傾斜角為90o，則直線方程是_________
2.已知直線的點(diǎn)斜式方程是y－2＝k(x-1)，那么這條直線恒過(guò)定點(diǎn)________
3.已知直線方程是 ，那么這條直線的斜率是_______,傾斜角為______
并總結(jié)特殊直線方程及點(diǎn)斜式方程的適用范圍
總結(jié)完后完成練習(xí)2，3
⑷點(diǎn)斜式方程不能表示傾斜角為90o的直線方程。
熟練點(diǎn)斜式方程的形式及各部分?jǐn)?shù)值的幾何意義
(二)斜截式方程
【問(wèn)題】已知直線l的斜率是k，且與y軸的交點(diǎn)是P(0,b)，則直線l的方程是_________
即y=kx+b……⑵
方程⑵叫做直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式
說(shuō)明：⑴b為直線l在y軸上的截距，b∈R。
⑵當(dāng)k≠0時(shí)，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式。
⑶斜截式直線方程不能表示傾斜角為900的直線方程。 學(xué)生獨(dú)立求出直線 的方程：
（2） 引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)方程并總結(jié)說(shuō)明。 引入斜截式方程，讓學(xué)生懂得斜截式方程源于點(diǎn)斜式方程，是點(diǎn)斜式方程的一種特殊情形。
例2.寫出下列直線的斜截式方程
⑴斜率為 ，在y軸上的截距是-2；
⑵斜率為-2，在y軸上的截距是0；
⑶傾斜角是60o，在y軸上的截距是3；
寫出答案
訂正答案 深入理解和掌握斜截式方程的特點(diǎn)
教學(xué)過(guò)程 學(xué)生活動(dòng) 教師活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖
二、講解新課 例3.已知直線
，
，試討論：⑴ 的條件是什么？
⑵ 的條件是什么？
總結(jié)：⑴
且 ；
⑵
練習(xí)：判斷下列各對(duì)直線是否平行或垂直
⑴
⑵
例4.已知直線l在y軸上的截距是-3，且與直線y＝ x平行，求直線l的方程。
[變式：] 已知直線l在y軸上的截距是-3，且與直線y＝ x垂直，求直線l的方程。
在此由學(xué)生得出結(jié)論
回答問(wèn)題 教師引導(dǎo)學(xué)生分析：用斜率判斷兩條直線平行、垂直結(jié)論。思考（1） 時(shí)， 有何關(guān)系？（2） 時(shí)， 有何關(guān)系？ 掌握從直線方程的角度判斷兩條直線相互平行，或相互垂直；進(jìn)一步理解斜截式方程中 的幾何意義。
對(duì)例3的反饋練習(xí)。
三、小結(jié) 學(xué)生填寫下表：
直線的方程 條件 方程的范圍 不適合直線
點(diǎn)斜式方程
斜截式方程
特殊情況 與x軸垂直的直線 方程：
與y軸垂直的直線 方程：
使學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)有一個(gè)整體性的認(rèn)識(shí)，了解知識(shí)的來(lái)龍去脈。
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四、隨堂檢測(cè) 1. 判斷正誤：
①直線的點(diǎn)斜式方程 不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線；
②直線y=kx+b與y軸的交于點(diǎn)P(0，b)，其中在y軸上的截距b＝ ；
2.寫出經(jīng)過(guò)過(guò)點(diǎn)（2，1）且滿足下列條件的直線方程：⑴平行于x軸的直線方程為__________；⑵平行于y軸的直線方程為__________；⑶過(guò)原點(diǎn)的直線方程為____________
3.x軸所在直線的方程是__________；y軸所在直線的方程是__________
4.直線3x-y+6=0的斜率為k=______，在y軸上的截距為b=_______
5.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,2)且平行于直線y＝4x－2的直線方程為_________
6.經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3,0)且垂直于直線y＝2x－5的直線方程為_________ 練習(xí) 訂正答案 鞏固新知識(shí)。
五、思考 直線l：5kx－5y-k+3=0，當(dāng)k變化時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)__________
課后思考 提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，養(yǎng)成善于分析思考的習(xí)慣。
六作業(yè) 1.直線3x+2y+6=0的斜率為k，在y軸上的截距為b，則k＝_____，b=_____
2. 在y軸上的截距為-6，且與y軸相交成角45 的直線的方程是
3. 將直線y=- (x-2)繞(2,0)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30 所得的直線方程是
4.已知A(-2,3),B(4,5)，求AB的垂直平分線所在直線的方程。
5.已知直線過(guò)點(diǎn)P(3,2)，傾斜角是直線y= 的傾斜角的兩倍，求直線的方程
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