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視頻標簽：直線方程,幾種形式
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教B版版必修二2.2.2直線方程的幾種形式（一）
教學設計、課堂實錄及教案：高中數學人教B版版必修二2.2.2直線方程的幾種形式（一）
2.2.2直線方程的幾種形式（一）教學設計
數學組郜汝姣
一、教學目標
知識與技能：1、根據直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、斜截式、兩點式）。2、理解直線與二元一次方程的對應關系。 過程與方法：幫助學生經歷如下過程——首先用代數的語言描述幾何要素及其關系，進而將幾何問題轉化為代數問題求解，體會代數運算過程的幾何含義，這種思想貫穿平面解析幾何教學的始終，幫助學生不斷體會“數形結合”的思想方法。 情感、態度與價值觀：在教學中，結合對常見曲線的研究，進一步培養運用所學知識解決一些實際問題的能力，提高學生計算、繪圖的技能、技巧和觀察、概括問題的能力，發展空間想象能力。
二、學情分析
本校是一所重點高中，相對來說，學生的學習基礎較好，本節課中教師多次采用個人思考與小組討論相結合，再由教師協助學生歸納總結的授課方式，再結合本節課知識特點，通過一題多解激發學生的學習熱情，同時幫助學生建立學好解析幾何的信心。
三、重點難點
重點：點斜式直線方程的推導。
難點：直線與二元一次方程的對應關系。
四、教學過程
活動一
復習引入：
1、直線方程的概念是什么？
如果以一個方程的解為坐標的點都在某條直線上，且這條直線上點的坐標都是這個方程的解，那么這個方程叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個方程的直線。 2、直線傾斜角的定義是什么？
X軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角。規定，與x軸平行或重合的直線的傾斜角為零度角。
3、如果點A(𝑥1,𝑦1)，點B（𝑥2,𝑦2）是一條直線上任意兩點，其中𝑥1≠𝑥2，則這條直線的斜率如何計算？
k=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1
其中，與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°，斜率k=0； 與x軸垂直的直線的傾斜角為90°，斜率k不存在 .
活動二
探究一：
已知直線𝑙過點P0（𝑥0，𝑦0），且斜率為𝑘，設點P(x，y)為直線𝑙上不同于𝑃0的任意一點，則
2
k=
𝑦−𝑦0𝑥−𝑥0
(𝑥≠ 𝑥0）
問：上式是不是直線𝑙的方程？
答：缺少點P0（𝑥0，𝑦0），變形為y−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0），此時是直線𝑙的方程。(滿足直線方程的概念)
因為是由直線上一點P0（𝑥0，𝑦0）和斜率k所確定的直線方程，我們把這個方程叫做直線的點斜式方程。
注：對點斜式方程y−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0）的深入理解： （1） 這個方程是由哪兩個條件確定的？
點P0（𝑥0，𝑦0）和斜率k（即一定點和斜率可確定一條直線）
（2） 當直線過定點P0（𝑥0，𝑦0），且傾斜角為0°時，直線方程是什么？
y=𝑦0（可利用點斜式方程；也可通過圖象直接得出結論） （3） 當直線過定點P0（𝑥0，𝑦0），且傾斜角為90°時，直線的方程是什么？
x=𝑥0（斜率k不存在，點斜式方程失效；只能通過圖象得出結論）
例1、 求下列直線的方程： （1） 直線𝑙1：過點（4，5），斜率為1； （2） 直線𝑙2：過點（2，1），斜率為-1. 解：（1）∵直線𝑙1過點（4，5），k=1 由直線的點斜式方程，得y−5=1×(x−4） 整理，得x−y+1=0
（為了統一答案的形式，如沒有特別要求，直線方程都化為ax+by+c=0的形式.）
（2）x+y−3=0
活動三
探究二：
問：如果一條直線通過點（0，b），且斜率為k，則直線的方程是什么？
答：利用點斜式方程，可得y−b=k(x−0） 整理，得y=kx+b
這個方程叫做直線的斜截式方程。其中k為斜率，b叫做直線y=kx+b在y軸上的截距，簡稱為直線的截距。 問：截距是距離嗎？
實質：直線在y軸上的截距，就是直線與y軸交點的縱坐標，令x=0即可得到。 口答：直線y=−2x+1，y=x−4，y=3x，y=−3在y軸上的截距分別是什么？ 又問：以上直線在x軸上的截距呢？（與x軸交點的橫坐標） 例2、 求下列直線的方程：
（1）直線𝑙3：過點（0，1），斜率為−1
2； （2）直線𝑙4：在x軸上的截距為5，斜率為−2； （3）直線𝑙5：過點（−2，1）和點(3，−3）.
解：（1）直線𝑙3過點（0，1），表明直線在y軸上的截距為1，又直線斜率為−1
2，由直線的斜截式方程，得y=−1
2𝑥+1 即x+2y−2=0
3
（2）2x+y−10=0
（3）法一：先求出直線的斜率，再由點斜式寫出直線方程. 直線𝑙5的斜率k=
-3-13-(-2）
=−4
5
，又因為過點（−2，1），
由直線的點斜式方程，得y−1=−4
5[𝑥−(−2）] 整理，得𝑙5的方程4x+5y+3=0
法二：設直線方程為y=kx+b（待定系數法）
代入點（−2，1）和點(3，−3），得 1=−2k+b−3=3𝑘+𝑏，解得 𝑘=−4
5
𝑏=−35 整理，得𝑙5的方程4x+5y+3=0
活動四
探究三：
已知兩點A 𝑥1，𝑦1 ，𝐵(𝑥2，𝑦2），且𝑥1≠𝑥2，𝑦1≠𝑦2，求直線AB的方程. 當𝑥1≠𝑥2時，由點斜式方程可得y−𝑦1=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1
(𝑥−𝑥1)
又當𝑦1≠𝑦2時，方程可寫成𝑦−𝑦1
𝑦
2−𝑦1
=𝑥−𝑥1
𝑥
2−𝑥1
（𝑥1≠𝑥2，𝑦1≠𝑦2）
這種形式的方程叫做直線的兩點式方程.
注：由兩點式方程的推導過程可以看出，當直線不存在斜率（𝑥1=𝑥2）或斜率為0（𝑦1=𝑦2）時，不能用兩點式求出它的方程，但把兩點式化為整式形式 y−𝑦1 𝑥2−𝑥1 =(𝑦2−𝑦1)(𝑥−𝑥1)后，就可以用它求出過平面上任意兩個已知點的直線方程. 若𝑥1=𝑥2，𝑦1≠𝑦2，則有x−𝑥1=0，即x=𝑥1； 若𝑥1≠𝑥2，𝑦1=𝑦2，則有y−𝑦1=0，即y=𝑦1. 例3、 求下列直線的方程：
（1）直線𝑙5：過點（−2，1）和點(3，−3）； （2）直線𝑙6：過點（−5，7）和點（−3，7）； （3）直線𝑙7：過點（3，−5）和點(3，8） 解：（1）此題同例2的（3） 法三：利用直線方程的兩點式，𝑦−1
−3−1=𝑥+2
3+2
整理，得𝑙5的方程4x+5y+3=0 （2）y−7=0 （3）x−3=0
技巧：根據給出的確定直線的條件，利用數形結合，能直接得到結果的，直接得結果； 否則，利用直線方程的幾種形式，選擇恰當的形式進行運算。
活動五
小結：請同學們總結一下，確定直線方程需要幾個獨立的條件？
方程名稱 已知條件
直線方程 適用范圍 點斜式 點P0（𝑥0，𝑦0）和斜率k y−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0）
斜率k存在 斜截式
截距b和斜率k
y=kx+b
斜率k存在
4
兩點式
兩點A 𝑥1，𝑦1 ，𝐵(𝑥2，𝑦2）
𝑦−𝑦1𝑦2−𝑦1=𝑥−𝑥1
𝑥2−𝑥1
𝑥1≠𝑥2，𝑦1≠𝑦2
說明：點斜式是直線方程最基本的形式。其他確定直線的條件都可以轉化為點斜式來處理。 判斷以下說法是否正確：
（1） 經過定點（𝑥0，𝑦0）的直線都可以用方程y−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0）來表示（錯） （2） 經過定點（0，b）的直線都可以用方程y=kx+b來表示（錯）
（3） 經過任意兩個不同點A 𝑥1，𝑦1 ，𝐵(𝑥2，𝑦2）的直線都可以用方程 y−𝑦1 𝑥2−
𝑥1 =(𝑦2−𝑦1)(𝑥−𝑥1)來表示（對）
活動六
關于解題方法的幾點思考： 1、通過學習，體會用坐標法研究幾何的優點：解析幾何的思想方法，就是代數和幾何聯姻，用代數方法研究幾何，把對幾何圖形的研究代數化。這一章實質上就是代數在幾何中的應用。解決問題的基本思路都是：在坐標系中，設動點的坐標，把圖形的特征性質轉化為代數表示。設未知數列方程或方程組解幾何問題。
2、數形結合的思想：我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”．數學中，數和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透．
數形結合的基本思想，就是在研究問題的過程中，注意把數和形結合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案．
活動七
練習：
1、教材79頁練習A第3題； 2、（教材79頁練習B第1題）在直線方程y−1=k(x+1)中，k取遍所有實數，可得無數條直線，這無數條直線都過哪一點？
3、引申：直線𝑙：y=kx−2k+3所經過的定點的坐標為
4、經過點（2，3）的所有直線，如何用方程表示？（通過一個定點的直線系）
y−3=k x−2 或x=2
活動八
思考：
已知直線𝑙在x軸上的截距是a，在y軸上的截距是b，且a≠0，b≠0 . 求證直線𝑙的方程可寫為 𝑥
𝑎
+𝑦
𝑏=1 . （這種形式的直線方程，叫做直線的截距式方程）
活動九
作業：
《課后訓練卷》
視頻來源：優質課網 www.swgszwr.cn
