視頻標簽：圓的方程,及應用

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視頻課題：高中數學人教A版必修二《圓的方程及應用》

教學設計、課堂實錄及教案：高中數學人教A版必修二《圓的方程及應用》海西州高級中學 

【教材分析】 
  本章在第三章“直線與方程”的基礎上，在直角坐標系中建立圓的方程，并通過圓的方程研究直線與圓、圓與圓的位置關系。在直角坐標系中建立幾何對象的方程，并通過方程研究幾何對象，這是研究幾何問題的重要方法，通過坐標系把點與坐標、曲線與方程聯系起來，實現空間形式與數量關系的結合。坐標法是貫穿本章的靈魂，在教學中要讓學生充分的感受體驗。 
【課    型】復習課 【教學目標】 
1 知識與技能 
了解解析幾何的基本思想，了解用坐標法研究幾何問題；掌握圓的標準方程和一般方程，加深對圓的方程的認識。 2 方法與過程 
通過實例引入，復習有關基礎概念，掌握確定圓的幾何要素和求圓的方程的一般方法。 3 情感態度價值觀 
通過本節的復習，使學生形成系統的知識結構，掌握解析幾何的思想方法，形成一定的分析問題和解決問題的能力。 
【教學重點】解析幾何解題的基本思路和解題方法的形成。 【教學難點】根據具體問題確定圓心及方程組求解。 【教學過程】 
一：情境導入 
                            如圖是某個圓拱形橋的示意圖。這個圓的圓拱跨度AB=16m，拱高OP=4m,建造時每間隔3.2m需要用一根支柱支撐，求支柱CF的高度（精確到0.01m）    
思考：如圖所示建立直角坐標系，那么求支柱CF的高度，化歸為一個什么問題？ 
     
將幾何問題化為代數問題，只要求出圓拱所在的圓的方程，根據F點的坐標，可知CF的高度。 二：知識梳理 1.圓的定義、方程 
(1)在平面內到______的距離等于______的點的    軌跡叫做圓； (2)確定一個圓的基本要素是： _______和_______. (3)圓的標準方程 
①兩個條件：圓心(a,b),半徑為r； ②標準方程：________                
                            (4)圓的一般方程 ①一般方程：________ 
②方程表示圓的充要條件為：______________； ③圓心坐標_________,半徑r=_______________. 答案：1：定點、定長       2：圓心、半徑       3：222)()(rbyax 
4：022FEyDxyx ；0422FED 


2,2ED； FED42122 三：基礎自測 
(1)方程x2+y2-2x-4y+4=0表示圓，則圓心和半徑分別是       (2)圓x2-2x+y2-3=0的圓心到直線x+ y-3=0的距離為      
(3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，則a的取值范圍是________; 答案：圓心（1,2）；半徑r=1; 3
2
2a 四：求圓的方程方法歸納： 一：求圓的方程主要有哪些方法？ 
(1)直接法：根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和徑，進而寫出方程。 
(2)待定系數法： 
①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，依據已知條件列出關于a、b、r的方程組，從而求出a、b、r的值;  
②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，
 
                    
             
                    
                            依據已知條件列出關于D、E、F的方程組，進而求出D、E、F的值。               二：確定圓心的規律和方法有哪些？ 
(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上；(2)圓心在任意一弦的垂直平分線上；(3)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線。 
三：問題回顧，對于上文中的實際問題，求出圓拱對應的圓的方程，并求出支柱CF的高度（精確到0.01m） 
 
解：如圖所示建立直角坐標系，連接BH 
設圓的半徑為R,OH=R-OP=R-4 
22200,HBBHOBH中在 
10
,8)4,222RRR解得，（即 
OH=R-OP=6，得H(0，-6) 
1006)y22（圓的方程為：x 
程點在圓上則滿足圓的方設FyF),,6.1( 
87
.344
.97)6.1(1006)y22y（ 
答：.87.3mCF約為拱高 五：例題講解 
【例1】 過點A(6,5)、B(0,1)，并且圓心在直線3x+10y+9=0上的圓的
 
                    
             
                    
                            方程為______________； 
思路導航：因為圓心在弦的垂直平分線上，所以解方程組，求出圓心，再求出半徑，即得圓的方程； 
解：因為圓經過A、B兩點，所以，圓心在AB的垂直平分線上，而AB的垂直平分線方程為：3x+2y-15=0,解方程組得， 
3x2y1503x10y90 
  
所得圓心坐標為（7，-3） 
651372
2r 
所以，所求圓的方程為：(x-7)2+(y+3)2=65.  

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