視頻標簽：轉化與歸化,思想復習,參考題

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視頻課題：高中數學人教A版必修1轉化與歸化思想復習參考題

教學設計、課堂實錄及教案：高中數學人教A版必修1轉化與歸化思想復習參考題

第四講  轉化與化歸思想 
 
轉化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而得到解決的一種方法．一般總是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題． 
轉化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，數學問題的解決，總離不開轉化與化歸，如未知向已知的轉化、新知識向舊知識的轉化、復雜問題向簡單問題的轉化、不同數學問題之間的互相轉化、實際問題向數學問題的轉化等．各種變換、具體解題方法都是轉化的手段，轉化的思想方法滲透到所有的數學教學內容和解題過程中．化歸與轉化思想是一切數學思想方法的核心． 1．轉化與化歸的指導思想 
(1)把什么問題進行轉化，即化歸對象．  (2)化歸到何處去，即化歸目標． (3)如何進行化歸，即化歸方法． 2．轉化與化歸的基本原則 
(1)熟悉化原則：將陌生的問題轉化為我們熟悉的問題．以利于我們運用熟知的知識、經驗來解決. (2)簡單化原則：將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題．通過簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據.（如高次問題低次化，多元問題少元化，綜合問題化整為零，一般問題特殊化，非規范問題規范化） 
(3)直觀化原則：將較抽象的問題轉化為比較直觀的問題(如數形結合思想，空間問題向平面轉化)． (4)和諧化原則：化歸問題的條件或結論，使其表現形式更符合數和形內部所表示的和諧形式，使其推演有利于運用某種數學方法或其方法符合人們的思維規律。 
(5)正難則反原則：當問題正面討論遇到困難時，可考設法從問題的反面去探討，使問題獲解. 3．常見的轉化與化歸的方法 
轉化與化歸思想方法用在研究、解決數學問題時，思維受阻或尋求簡單方法或從一種狀況轉化到另一種情形，也就是轉化到另一種情境使問題得到解決，這種轉化是解決問題的有效策略，同時也是獲取成功的思維方式．常見的轉化方法有： 
(1)直接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題． 
(2)換元法：運用“換元”把式子轉化為有理式或使整式降冪等，把較復雜的函數、方程、不等式問題轉化為易于解決的基本問題． 
(3)數形結合法：研究原問題中數量關系(解析式)與空間形式(圖形)關系，通過互相變換獲得轉化途徑． (4)等價轉化法：把原問題轉化為一個易于解決的等價命題，達到化歸的目的． 
(5)特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的問題、結論適合原問題． (6)構造法：“構造”一個合適的數學模型，把問題變為易于解決的問題． 
(7)坐標法：以坐標系為工具，用計算方法解決幾何問題是轉化方法的一個重要途徑． (8)類比法：運用類比推理，猜測問題的結論，易于確定． (9)參數法：引進參數，使原問題轉化為熟悉的形式進行解決． 
(10)補集法：如果正面解決原問題有困難，可把原問題的結果看做集合A，而把包含該問題的整體問題的結果類比為全集U，通過解決全集U及補集∁UA獲得原問題的解決，體現了正難則反的原則.  
典例透析 
（一）基礎提煉 
1．[2014·新課標全國卷Ⅰ] 設α∈0，π2，β∈0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β
，則(   ) A．3α－β＝π2   B．3α＋β＝π2 C．2α－β＝π2   D．2α＋β＝π
2
 
答案．C [解析] 
法一：切化弦：由tan α＝1＋sin βcos β 得
sin1sinsincoscoscossincoscos

  
                    
             
                    
                             
第2頁（共14頁）                                
sin()cossin()sin()2

， 
因為α∈0，π2，β∈0，π2，0,22
，sin()sin()020, 所以2或2

得22或2（舍） 
法二：弦化切：tan α＝
1＋sin βcos β＝
cosβ2
＋sinβ2 2cos2β2－sin2β2＝
cosβ2＋sin β2cosβ2－sinβ2＝1＋tanβ
21－tan
β2
＝tan
π4＋β2， 因為β∈0，π2，所以π4＋β2∈π4，π2，又α∈0，π2且tan α＝tanπ4＋β2，所以α＝ 
π4＋β2，即2α－β＝π2
. 【點評】化繁為簡，切化弦或者弦化切都是為了盡可能減少函數名稱，三角恒等變換的核心思想是“化一”。化同一函數名稱，化同一角，化同一個函數。由值到角，注意“掐角”。  
2. 已知直線1xy
ab
通過點(cos,sin)M，則（    ）  A.221ab B. 221ab C.2211
1ab
 
D.
2
2111ab
 答案 D 解析  
法一：形的角度：(cos,sin)M是單位圓221xy上一點，因此直線
1xy
ab
與圓221xy有公共點，因此圓心到直線距離22
22
1
11
1111dabab

； 法二：三角變換的角度：由輔助角公式22cossin111sin()abab，所以2211
1ab； 法三：不等式角度：由柯西不等式：2
22
22cossin111cossina
bab. 
法四：特殊化：取0，則1011,abRab，45，則11
2ab
，取22ab。 
【點評】未知為已知 轉化與化歸的靈活性與多樣性.  化特殊為一般.  
4.若函數g(x)＝x3－m2＋2x2＋3x在區間1,23
上總不為單調函數，則實數m的取值范圍是______． 答案 26m 
解析 2(343)'gxxmx＝－＋＋， 
法一： g(x)在區間1,23

上總為單調函數，則①'gx≥0在(t,3)上恒成立或②'gx≤0在(t,3)上恒成立． 
由①得3x2－(m＋4)x＋3≥0，即413mxx在x∈1,23
上恒成立，min
413mxx即4223mm 
由②得
413mxx在x∈1,23
上恒成立，則max413mxx
，即413633mm； 所以，函數g(x)在區間(t,3)上總不為單調函數的m的取值范圍為26m. 
法二：若g(x)在區間(t,3)上總不為單調函數，則0'gx在1,23
至少有一個實根且不是．．重根．．， 即234()30xmx－＋＋在1,23

有實根且不是重根，所以02m或10m，（必要但不充分） 

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