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視頻標簽：函數
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教B版版必修一2.1.1函數-大連
教學設計、課堂實錄及教案：高中數學人教B版版必修一2.1.1 函數-大連市第一中學
函數的概念教學設計
教學內容分析
函數的概念是數學中最重要的概念之一，其本質是從一個非空數集到另一個非空數集的特殊對應，它揭示了現實世界中數量關系之間相互依存和變化的實質，是描述客觀世界中變量間依賴關系的數學模型。本節課在高中數學中有著承上啟下的作用，從初中運動觀下的函數定義出發，過渡到使用集合語言描述了更為確切的函數定義，本節課滲透的函數思想將被應用到數學的各個分支領域。本課的教學重點是：理解函數的概念，教學難點是：函數概念及對符號y=f（x）的理解。
教學目標設置
知識與能力：理解函數的集合觀定義，并會使用符號表示；理解函數符號𝑓 𝑥 與y；會求一些簡單函數的定義域，理解對應法則；使學生提高抽象概括、分析總結、數學表達等基本數學能力。
過程與方法：創設情境，使學生經歷從具體函數實例和運動觀定義去解析函數的基礎上，理解函數的集合觀定義，進而理解法則𝑓，培養學生類比與聯想的學習能力。
情感、態度和價值觀：學生親身經歷了由特殊到一般的研究過程，培養了學生質疑、探究的科學精神，也培養學生唯物主義觀點。
學生學情分析
教學對象：市重點高中學生。學生對函數概念并不陌生，初中的函數概念教會學生認識變量間的依存關系，并且掌握了一次函數、二次函數和反比例函數的基本性質，已經基本具備建模的能力。學生思維普遍活躍，善于表達，善于發現問題，樂于和教師交流分享他們的解題心得。但高一學生的抽象概括能力較弱，由實例到抽象的數學語言，需要教師的引領。
教學策略分析
在短短的45分鐘要讓學生經歷函數定義發展史上100年的探究歷程，學生不可能獨立完成，這需要教師用材料鋪好一條路，要了解學情并對學生的疑問做好預設，難度大的地方搭好梯子，本節課以“學生為主體，教師引導”教學原則來設計，著重解決了學生的幾個疑問。
1、怎么從初中概念出發得到高中函數概念？
學生的抽象概括能力還很薄弱，這使得用集合語言刻畫函數概念很有難度，如果直接歸納定義學生會失去剛剛燃起的探究欲望，所以我選擇從生活中的三個實例入手，用問題串引領學生完成實例的分析，在分析過程中，重點讓學生體會每個例子的“變化過程”就是對應法則，初中定義的”某一區間”用集合語言描述就是定義域A，自然過渡到集合語言描述函
數概念。師生共同研究得到函數定義；鍛煉了學生的語言表達及思辨能力，讓學生感受建立函數模型的過程和方法。
2、對應法則是指什么？
學生會覺得對應法則這個詞很陌生，理解不好對應法則就無法真正理解函數的概念。我從三個實例中逐一的讓學生體會初中定義中的 “變化過程”，第一個例子股票的函數關系變化過程是通過圖像來展現的，第二個例子國民生產總值的函數關系是通過表格來展現的，第三個例子函數關系是通過解析式來表達的，變化過程通過不同的方式呈現，我們把這些呈現方式理解為函數的對應法則。
3、為什么要引入抽象符號𝑓 𝑥 ?
①先讓學生回憶初中如何設出二次函數？𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐（𝑎≠0，𝑎，𝑏，𝑐為常數） 提問什么要標明𝑎，𝑏，𝑐為常數？是為了突顯自變量是𝑥!
現在二次函數可以設為：𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐（𝑎≠0）清楚明了的表達了誰是自變量！ ②初中求當𝑥=2時𝑦的值？ 現在可以表示為𝑓(2),簡潔清晰。
以上兩點需要教師引導，學生才能體會的到，學生這時會從內心對𝑓(𝑥)不抵制，不懼怕，明白了它其實就是一種符號語言的表達。
4、如何更深入的理解對應法則𝑓呢？
這是本節課的難點。通過學生熟悉的一次函數、二次函數入手，在求解𝑓 2 𝑓 𝑎 和 𝑓(𝑎−1)的過程中和學生一起發現各自的對應法則是什么；再通過例2的三個小題，讓學生體會變量表達形式不同但對應法則相同，求函數解析式的過程就是確定對應法則的過程，進而突破難點。
教學過程分析
教學流程：
實例建模、形成概念討論研究、深化概念例題教學、應用概念 知識回顧、總結方法精煉作業、鞏固延伸
◆實例建模、形成概念
實例一 下圖的蘭色曲線記錄的是某天自上午9：30至下午3：00上海證券交易所的股票指數的情況,股票指數是時間的函數嗎？
實例二 下表列出了我國從1988年到2002年，每年的國內生產總值，國內生產總值是年份的函數嗎？
年份 生產總值/億元 1998 78345 1999 82067 2000 89442 2001 95933 2002
102398
實例三一枚炮彈發射后，經過26s落到地面擊中目標．炮彈的射高為845m，且炮彈距地面高度h（單位：m）隨時間t（單位：s）變化的規律是h＝130t－5𝑡2．炮彈距地面高度h是時間t的函數嗎？為什么？
【師生活動】每個例子都請同學來判斷是否是函數關系,學生的判斷過程也是體會運用初中定義的過程；接著追問“某一范圍”可以用什么來更為準確的描述；“變化過程”是通過什么來展現的。讓學生體會怎么樣用集合語言來描述函數關系。
【設計意圖】學生對初中的函數定義理解掌握情況將決定這節課的學習起點，和本節課建構知識的基礎。這三個實例既鞏固了學生對初中定義的理解，也拉齊了學生的起點，為下一步用集合語言和對應來定義函數做好了準備。從中學生還體會了用集合A來描述比“某一范圍內”更為準確；變化過程通過不同的載體來展現：有圖像、表格和解析式，這也是函數的幾種表示方法，為下一小節埋好了伏筆。
概念的形成的階段從實際問題引出概念，激發學生的興趣，給學生思考、探索的空間，讓學生體驗數學知識的發現、發展的過程。知識不再是生硬的，變成了學生的親身體驗，學生主動去探究新知，更好的提升學生的數學素養，提高分析問題的能力。在師生、生生的互動交流中形成共識，得到集合觀的函數概念：
設集合A是一個非空數集，對A中的任意數x，按照確定的法則f，都有唯一確定的數y與它對應，則這種對應關系叫做集合A上的一個函數，記作：y=f（x），xϵA
◆討論研究、深化概念
討論點1：找出定義中的關鍵詞，明確高中和初中函數概念的區別和聯系。
請同學找到概念中的關鍵詞幫助自己理解吧！
學習了初中高中的函數定義，你能談談它們的區別和聯系嗎？
對應法則本質是相同的，初中是在運動觀下的定義，高中是在集合觀下的定義，用集合這種符號語言來表述概念更加清晰明了，高中還引入了一個抽象符號來表示函數關系。
下列圖中能表示函數關系的是？
學生辨析函數關系的過程就是理解定義的過程。接著給出函數的定義域值域概念： 其中x叫自變量，自變量的取值范圍（數集A）叫做這個函數的定義域。
如果自變量取值a，則由法則f確定的值y稱為函數在a處的函數值，記作y=f（a）或y|𝑥=a.所有函數值構成的集合 𝑦|y=f x ，xϵA}叫做這個函數的值域。 討論點2：確定函數的要素有哪些？
函數定義中提到了兩個集合：定義域和值域，還有對應法則，能確定兩個函數是同一函數的要素有哪些呢？
學生回答：定義域和對應法則，追問學生為什么引發學生思考。 例1 求下列函數的定義域：
1 y= 𝑥+1 2 𝑦=1
𝑥+2
3 𝑦=𝑥0. 討論點𝟑：理解𝒇 𝒙 與𝐲
①先讓學生回憶初中如何設出二次函數？𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐（𝑎≠0，𝑎，𝑏，𝑐為常數） 提問什么要標明𝑎，𝑏，𝑐為常數？是為了突顯自變量是𝑥!
現在二次函數可以設為：𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐（𝑎≠0）清楚明了的表達了誰是自變量！ ②初中求當𝑥=2時𝑦的值？ 現在可以表示為𝑓(2),簡潔清晰。 討論點4：理解法則𝒇
第一步：從一次函數𝑦=𝑥+1入手，求𝑓 2 𝑓 𝑎 和 𝑓(𝑎−1)的過程中和學生一起發現各自的對應法則是什么？讓學生口答一個二次函數的法則，接下來給出例2，深刻理解對應法則。
◆例題教學、應用概念
例2 1 已知函數𝑓 𝑥 =𝑥2，求𝑓 𝑥−1 . (2)已知函數𝑓 𝑥−1 =𝑥2−2𝑥+1，求𝑓 𝑥 .
(3)已知函數𝑓 𝑥−1 =𝑥2，求𝑓 𝑥 .
【設計意圖】以學生熟悉的一次函數、二次函數為例，這樣貼近學生的最近發展區，能夠幫助學生深入淺出的理解對應法則；再通過例2的三個小題，讓學生體會變量表達形式不同但對應法則相同，求函數解析式的過程就是確定對應法則的過程，進而突破難點。通過習題促進知識向技能的轉化，本題中體現了函數中湊項的重要思想，為日后求解函數解析式做好了鋪墊。問題的產生不是教師刻意提出，而應該是教師通過使用恰當的材料，陪學生一起探究新知的過程中自然的產生疑惑，從而激發學生的學習欲望，隨著一個個疑惑的解開，完成教學難點的突破。
◆知識回顧、總結方法
今天，我們在初中函數定義的基礎上，運用集合與對應的語言重新刻畫了函數， 回顧一下本節課我們共同學習了哪些知識？
通過比較兩個函數的定義，同學們有什么新的收獲？ 在練習中你積累了哪些解題經驗？ 引導學生思考回答，老師作適當補充．
◆精煉作業、鞏固延伸
1.判斷下列各式中𝑦是不是𝑥的函數？
1 y2=x （2）y= x−2+ 2−x （3）y= x−2+ 1−x . 2.求下列函數的定義域：
1 𝑓 𝑥 = 𝑥+3+1
𝑥+2
(2)𝑓 x = 𝑥− −𝑥.
3.(1)已知函數𝑓 𝑥 =2𝑥2，求𝑓 −𝑥 ，𝑓(1+x).
2 已知 𝑓 𝑥+1 =𝑥2，求𝑓 𝑥 . 4.已知函數𝑓 x =3𝑥2+2
（1）求𝑓 2 、𝑓 −2 的值；（2）求𝑓 𝑎 、𝑓 −𝑎 的值； （3）你從中發現了什么結論？
視頻來源：優質課網 www.swgszwr.cn
