視頻簡介：
視頻標簽：湖北好課堂,函數的單調性
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評《函數的單調性》湖北
教學設計、課堂實錄及教案：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評《函數的單調性》湖北
《函數的單調性》教學設計
湖北省荊州中學 張靜
一、教學內容解析
本節課內容是《普通高中課程標準實驗教科書數學》人教A版必修1第一章《集合與函數概念》1.3《函數的基本性質》中第1.3.1節《單調性與最大（小）值》的第一課時，本節教學內容為函數的單調性．函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質．函數單調性的概念是研究具體函數單調性的理論依據，在研究函數的值域、最大值、最小值等性質中有重要應用，因而函數單調性概念是中學數學中最重要的概念之一．
在研究單調性過程中，經歷觀察圖象，描述函數圖象特征；結合圖象，用自然語言描述函數圖象特征；用數學符號語言定義函數性質的過程．體現了對函數研究的一般方法．加強“數”與“形”的結合，由直觀到抽象；由特殊到一般．為進一步學習函數其他性質提供了方法依據．
在對函數單調性的探究過程中，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力；讓學生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．
本節課的教學重點：形成增（減）函數形式化定義
二、教學目標設置
（一）學習目標
1. 結合函數圖象,逐步讓學生理解函數單調性的概念，掌握用函數單調性的定義證明簡單函數在某區間上具有某種單調性的方法（步驟）.
2. 通過對函數單調性定義的探究，感悟數形結合的思想方法，培養觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高推理論證能力．
3. 通過知識的探究過程培養細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．
（二）目標解析
1．能夠以具體的例子說明某函數在某區間上是增函數還是減函數；并通過繪制圖形說明函數在定義域的子集（區間）上具有單調性，而在整個定義域上未必具有單調性，說明函數的單調性是函數的局部性質.對于一個簡單的函數能夠用單調性的定義，證明它是增函數還是減函數.
2．在探究函數單調性定義時，領悟到數形結合思想、轉化思想、變化與對應思想，并能運用這些數學思想觀察、分析函數的圖象，探究、歸納、概括函數單調性的概念．
3．通過對函數單調性定義的探究，經歷觀察、分析、探究、歸納的認知過程，將函數圖象的“上升”或“下降”這一特征能用該區間上“任意的 ，都有 ”的數學語言進行刻畫.從高度隨時間變化的具體例子入手,層層追問,引發學生思考,最終歸納得出函數單調性定義.在這一過程中,培養學生良好的思維品質，提高考慮問題全面的思維能力．
三、學生學情分析
學生已有的認知基礎是，初中學習過函數的概念，初步認識到函數是描述事物運動變化規律的數學模型，并且學習了一次函數、二次函數及反比例函數，能熟練的利用描點法畫出這些函數的圖象.進入高中以后又進一步學習了函數概念，認識到函數是兩個非空數集間的一種對應．知道函數有三種表示方法，充分認識到一個函數中自變量與函數值的對應關系，可以利用圖象表示函數中函數值隨自變量 的變化而變化的規律和性質.
“圖象是上升的，函數是單調遞增的；圖象是下降的，函數是單調遞減的”僅就圖象角度直觀描述函數單調性的特征，學生并不感到困難.困難在于，把具體的、直觀形象的函數單調性特征抽象出來，用數學的符號語言描述.即把某區間上“ 隨著 的增大而增大”這一特征用該區間上“任意的 ，都有 ”進行刻畫.其中最難理解的是為什么要在區間上“任意”取兩個大小不等的 ．
教學中，通過觀察引例的圖象變化特征的研究，針對圖象上升的部分,即“ 隨著 的增大而增大”，初步提出單調遞增的說法，通過圖象觀察，提出猜想，經歷討論、交流、驗證使學生克服思維障礙，經歷從直觀到抽象、具體到一般的形成知識的過程．
教學難點：形成增（減）函數概念的過程中，如何從圖象升降的直觀認識過渡到函數增減的數學符號語言表述，用定義證明函數單調性。
四、教學策略分析
為實現本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上我主要采取了以下的策略：
（1）創設生活情境，找準切入點．函數是描述事物運動變化規律的模型，生活中很多運動變化的現象都值得去關注，讓學生通過觀察過山車高度隨時間變化曲線圖的變化趨勢，完成對單調性直觀上的一種認識，并為概念的引入提供了必要性．讓學生帶著問題（什么是函數的單調性？怎樣判定函數的單調性？）進入新課．
（2）探索概念階段，緊扣主線．
①以過山車高度變化曲線為例，讓學生從圖象上獲得“上升”“下降”的整體認識，初步認識函數單調性．
②通過觀察、猜想、分析，從而用數學符號語言定描述函數在 的單調性.最后通過類比，用數學符號語言定義一般函數的單調性．
（3）注重思想方法的培養．從過山車高度隨時間變化的函數圖象的觀察出發，經歷從直觀到抽象，從圖形語言到數學符號語言，進而理解增函數、減函數、單調區間概念的過程中，感悟數形結合思想、特殊到一般思想．掌握通過觀察圖象，先對函數是否具有某種性質做出猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，這一研究函數性質的常用方法．
（4）注重數學應用意識的培養．在整個教學過程中，通過高度曲線創設情境，找準切入點，進入新課．利用高度曲線構造反例，幫助學生理解函數單調性中的“任意性”．在歸納反思中，利用高度曲線說明學習函數單調性知識具有實際意義．
五、教學過程
（一）創設情境，引入新知
探究一：我們知道，函數是研究事物運動變化規律的模型，生活中就有許多運動變化的現象是我們經常關注的，如過山車在24秒內的高度隨時間變化的曲線圖．
問題1：觀察圖象,說說高度隨著時間的變化在怎樣變化？
師生活動：教師提問，學生思考、回答，教師根據學生回答的情況加以補充．
【設計意圖】通過學生熟悉的實際問題引入課題．為概念學習創設情境，拉近數學與現實的距離，激發學生求知欲，調動學生主體參與的積極性．學生通過觀察過山車高度隨時間變化曲線圖的變化趨勢，完成對單調性直觀上的一種認識．
（二）觀察探究，形成新知
問題2：如何用數學符號語言描述函數圖象在 上, 隨 的增大而增大？
師生活動：學生在教師的引導下，得出：
在區間 上取 ，當 時，有 ．
問題3：反過來思考,在區間 上取 ，當 時， 成立,圖象在區間 上就一定是上升的嗎?
學生相互合作交流討論：由學生上臺在黑板上畫出反例,說明圖象不一定是上升的，老師講解．
學生在教師的引導下，總結：
函數在區間 上任取 值，當 時，都有 ．就能說明函數在區間 上 隨 的增大而增大；函數在區間 上是增函數，區間 是增區間。
【設計意圖】觀察圖象，學生在教師的引導下，用數學符號語言“函數在區間 上任取兩個 ，當 時，有 ”來描述“ 隨著 的增大而增大”，學生經歷從直觀到抽象，從圖形語言到數學符號語言，進而理解增函數、減函數、單調區間概念的過程．
將區間用字母D表示，就得到了函數單調增函數的定義：
一般地，設函數 的定義域為 ，如果對于定義域 內的某個區間 上的任意兩個自變量的值 ，當 時，都有 ，那么就說函數 在區間 上是增函數，區間D是增區間。
【設計意圖】體現了對函數研究的一般方法：由特殊到一般的思想方法．
問題4：減函數的定義呢？大家一起說！
【設計意圖】得出減函數定義，培養學生的類比能力．
辨一辨：判斷下列說法是否正確，說明理由：
（1）某地0點溫度高于1點半的溫度，1點半的溫度高于5點的溫度，則該地0點至5點溫度一直在下降.
（2）對于函數 在其定義域 內有無窮多個值 ，且 ，滿足 ，則函數 在其定義域內是增函數.
（3）對于區間 上的任意 有 ，則函數 在區間 上單調遞增．
【設計意圖】通過辨析，進一步加深學生理解定義中的關鍵詞．
（三）鞏固提高，應用新知
例1 下圖是定義在區間 上的函數 ，根據函數圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數？
師生活動：學生觀察圖象，獨立完成，教師解答學生在解決問題過程中出現的問題．如：
①單調區間是定義域的子集；
②本題中，如果用并集符號，不符合單調性定義；
③本題中，區端點處有意義，那么區間開閉都可以．
【設計意圖】學生能夠通過函數圖象說出函數的單調區間，加深對函數單調性概念的理解．
例2：物理學中的玻意耳定律 ( 為正常數)告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積 減小時，壓強 將增大．試用函數的單調性證明之．
師生活動：幫助學生分析例2，引導學生將物理問題轉化為數學問題，解題過程由學生思考陳述，教師板書證明過程，師生共同總結用定義證明函數為增（減）函數的基本步驟．
【設計意圖】利用單調性證明物理學中的玻意耳定律，學生感受到函數單調性的初步應用；教師引導下，學生熟悉用定義證明函數為增（減）函數的基本步驟．
問題5：探究初中所學一次函數，二次函數，反比例函數各自的單調性，重點探究反比例函數的單調性。
探究二：初中學習的幾種函數的單調性
問題6：回答初中所學幾種函數類型，及它們各自的單調區間和單調性。
師生活動：學生討論，老師指出兩個減區間 不能并起來，強調判斷的依據就是單調性的定義。
【設計意圖】學生體會：通過數形結合思想的運用，觀察圖象，先對函數是否具有某種性質進行猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，是研究函數性質的一種常用方法．
練習：給出下列函數的圖象,指出函數的單調區間,并指明其單調性.
（四）歸納反思，深化新知
教師梳理、概括本節課主要的學習內容，并揭示蘊涵的數學思想方法．
【設計意圖】使學生深切體會到本節課的主要內容和思想方法．
（五）布置作業：
書面作業：課本第39頁習題1.3 A組第1、2、3題．
課后探究：研究函數 的單調性，并證明你的結論．
視頻來源：優質課網 www.swgszwr.cn
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