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視頻課題：人教版高中數學必修《平面》鄒城市第一中學

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人教版高中數學必修《平面》鄒城市第一中學

 
《2.1.1平面》教學設計
教學分析
    平面是最基本的幾何概念,教科書以課桌面、黑板面、海平面等為例,對它只是加以描述而不定義.立體幾何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是無限延展性.為了更準確地理解平面,教材重點介紹了平面的基本性質,即教科書中的三個公理,這也是本節的重點.另外,本節還應充分展現三種數學語言的轉換與翻譯,特別注意圖形語言與符號語言的轉換.
三維目標
1.正確理解平面的幾何概念,掌握平面的基本性質.
2.熟練掌握三種數學語言的轉換與翻譯,結合三個公理的應用會證明共點、共線、共面問題.
3.通過三種語言的學習讓學生感知數學語言的美,培養學生學習數學的興趣.
重點難點
    三種數學語言的轉換與翻譯,利用三個公理證明共點、共線、共面問題.
課時安排
    1課時
教學過程
一、導入新課
思路1.(事例導入)
觀察長方體（圖1），你能發現長方體的頂點、棱所在的直線，以及側面、底面之間的關系嗎？

圖1
    長方體由上、下、前、后、左、右六個面圍成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直線與面平行，有些棱所在的直線與面相交；每條棱所在的直線都可以看成是某個面內的直線等等.空間中的點、直線、平面之間有哪些位置關系呢？本節我們將討論這個問題.
思路2.(情境導入)
    大家都看過電視劇《西游記》吧，如來佛對孫悟空說：“你一個跟頭雖有十萬八千里，但不會跑出我的手掌心”.結果孫悟空真沒有跑出如來佛的手掌心，孫悟空可以看作是一個點，他的運動成為一條直線，大家說如來佛的手掌像什么？對，像一個平面，今天我們開始認識數學中的平面.
二、新知探究
探究一：平面的相關概念及性質
提出問題
①怎樣理解平面這一最基本的幾何概念;
②平面的畫法與表示方法;
③如何描述點與直線、平面的位置關系？
④直線與平面有一個公共點，直線是否在平面內？直線與平面至少有幾個公共點才能判斷直線在平面內？
⑤根據自己的生活經驗，幾個點能確定一個平面？
⑥如果兩個不重合的平面有一個公共點，它們的位置關系如何？請畫圖表示;
⑦描述點、直線、平面的位置關系常用幾種語言？
⑧自己總結三個公理的有關內容.
活動：讓學生先思考或討論，然后再回答，經教師提示、點撥，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路.對有困難的學生可提示如下：
①回憶我們學過的最基本的概念（原始概念），如點、直線、集合等.
②我們的桌面看起來像什么圖形？表示平面和表示點、直線一樣，通常用英文字母或希臘字母表示.
③點在直線上和點在直線外；點在平面內和點在平面外.
④確定一條直線需要幾個點？
⑤引導學生觀察教室的門由幾個點確定.
⑥兩個平面不可能僅有一個公共點，因為平面有無限延展性.
⑦文字語言、圖形語言、符號語言.
⑧平面的基本性質小結.
討論結果：①平面與我們學過的點、直線、集合等概念一樣都是最基本的概念（不加定義的原始概念），只能通過對它描述加以理解，可以用它定義其他概念，不能用其他概念來定義它，因為它是不加定義的.平面的基本特征是無限延展性，很像如來佛的手掌(吳承恩的立體幾何一定不錯).
②我們的桌面看起來像平行四邊形，因此平面通常畫成平行四邊形，有些時候我們也可以用圓或三角形等圖形來表示平面，如圖2.平行四邊形的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍.如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，我們常把它遮擋的部分用虛線畫出來，如圖3.
                 
圖2                           圖3
    平面的表示法有如下幾種：（1）在一個希臘字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常寫在平行四邊形的一個銳角內(圖4)；（2）用平行四邊形的四個字母表示，如平面ABCD（圖5）；（3）用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母來表示，如平面AC（圖5）.
               
圖4                       圖5
③下面我們總結點與直線、平面的位置關系如下表：

點A在直線a上（或直線a經過點A）		A∈a	元素與集合間的關系
點A在直線a外（或直線a不經過點A）		Aa
點A在平面α內（或平面α經過點A）		A∈α
點A在平面α外（或平面α不經過點A）		Aα

【跟蹤練習】已知命題：  ①10個平面重疊起來，要比5個平面重疊起來厚 ②有一個平面的長是50m，寬是20m ③黑板面是平面； ④平面是絕對的平，沒有大小、沒有厚度，可以無限延展的抽象的數學 概念. 其中正確的命題是__________.(通過做此練習加深對平面的理解)
 
探究二：三個公理：
討論：直線上有一個點在平面內，直線沒有全部落在平面內(圖7)，直線上有兩個點在平面內，則直線全部落在平面內.例如用直尺緊貼著玻璃黑板，則直尺落在平面內.
公理1：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內.
這是用文字語言描述，我們也可以用符號語言和圖形語言（圖6）描述.
    空間圖形的基本元素是點、直線、平面.從運動的觀點看，點動成線，線動成面，從而可以把直線、平面看成是點的集合，因此它們之間的關系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號語言來表示.規定直線用兩個大寫的英文字母或一個小寫的英文字母表示，點用一個大寫的英文字母表示，而平面則用一個小寫的希臘字母表示.公理1也可以用符號語言表示：
若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,則aα.
         
圖6                         圖7
請同學們用符號語言和圖形語言描述直線與平面相交.
若A∈a,B∈a,且Aα,B∈α,則aα.如圖（圖7）.
⑤在生活中，我們常常可以看到這樣的現象：三腳架可以牢固地支撐照相機或測量用的平板儀等等.
    上述事實和類似的經驗可以歸納為下面的公理.
公理2：經過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面.
如圖（圖8）.

圖8
公理2刻畫了平面特有的性質，它是確定一個平面位置的依據之一.
⑥我們用平行四邊形來表示平面，那么平面是不是只有平行四邊形這么個范圍呢？
不是，因為平面是無限延展的.直線是可以落在平面內的，因為直線是無限延伸的，如果平面是有限的，那么無限延伸的直線又怎么能在有限的平面內呢？所以平面具有無限延展的特征.
現在我們根據平面的無限延展性來觀察一個現象（課件演示給學生看）.
問：兩個平面會不會只有一個公共點？不會，因為平面是無限延展的，應當有很多公共點.正因為平面是無限延展的，所以有一個公共點，必有無數個公共點.那么這無數個公共點在什么位置呢？可見，這無數個公共點在一條直線上.
    這說明，如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線.此時，就說兩平面相交，交線就是公共點的集合，這就是公理3.如圖（圖9），用符號語言表示為：P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l.

圖9
    公理3告訴我們，如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么這兩個平面一定相交，且其交線一定過這個公共點.也就是說，如果兩個平面有一個公共點，那么它們必定還有另外一個公共點，只要找出這兩個平面的兩個公共點，就找出了它們的交線.
    由此看出公理3不僅給出了兩個平面相交的依據，還告訴我們所有交點在同一條直線上，并給出了找這條交線的方法.
⑦描述點、直線、平面的位置關系常用3種語言:文字語言、圖形語言、符號語言.
⑧“平面的基本性質”小結：

名稱	作用
公理1	判定直線在平面內的依據
公理2	確定一個平面的依據
公理3	兩平面相交的依據

應用示例
例1  如圖10，用符號語言表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關系.

圖10
活動：學生自己思考或討論，再寫出（最好用實物投影儀展示寫的正確的答案）.教師在學生中巡視，發現問題及時糾正，并及時評價.
解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.
在（2）中，α∩β=l,aα,bβ,a∩l=P,b∩l=P.
變式訓練
1.畫圖表示下列由集合符號給出的關系：
(1)A∈α,Bα,A∈l,B∈l;
(2)aα,bβ,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.
解：如圖11.

圖11
2.根據下列條件，畫出圖形.
（1）平面α∩平面β=l，直線ABα，AB∥l，E∈AB，直線EF∩β=F，Fl;
（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三個頂點滿足條件:A∈a，B∈α，Ba，C∈β，Ca.
答案：如圖12.

圖12
點評：圖形語言與符號語言的轉換是本節的重點，主要有兩種題型：
(1)根據圖形，先判斷點、直線、平面的位置關系，然后用符號表示出來.
(2)根據符號，想象出點、直線、平面的位置關系，然后用圖形表示出來.
例2  已知直線a和直線b相交于點A.求證：過直線a和直線b有且只有一個平面.

圖13
證明：如圖13,點A是直線a和直線b的交點,在a上取一點B，b上取一點C，
根據公理2經過不在同一直線上的三點A、B、C有一個平面α，
因為A、B在平面α內，根據公理1，直線a在平面α內,
同理直線b在平面α內，即平面α是經過直線a和直線b的平面.
又因為A、B在a上，A、C在b上，所以經過直線a和直線b的平面一定經過點A、B、C.
于是根據公理2，經過不共線的三點A、B、C的平面有且只有一個，
所以經過直線a和直線b的平面有且只有一個.
變式訓練
求證：兩兩相交且不共點的四條直線在同一平面內.
證明：如圖14，直線a、b、c、d兩兩相交，交點分別為A、B、C、D、E、F,

圖14
∵直線a∩直線b=A,∴直線a和直線b確定平面設為α，即a,bα.
∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.
而B、F∈c，C、E∈d,∴c、dα,
即a、b、c、d在同一平面內.
點評：在今后的學習中經常遇到證明點和直線共面問題，除公理2外，確定平面的依據還有：
(1)直線與直線外一點.(2)兩條相交直線.(3)兩條平行直線.
拓展提升
    O₁是正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的上底面的中心，過D₁、B₁、A作一個截面，求證：此截面與對角線A₁C的交點P一定在AO₁上.
解：如圖22,連接A₁C₁、AC，

圖22
因AA₁∥CC₁，則AA₁與CC₁可確定一個平面AC₁，
易知截面AD₁B₁與平面AC₁有公共點A、O₁，
所以截面AD₁B₁與平面AC₁的交線為AO₁.
又P∈A₁C，得P∈平面AC₁，而P∈截面AB₁D₁，
故P在兩平面的交線上，即P∈AO₁.
點評：證明共點、共線問題關鍵是利用兩平面的交點必在交線上.
課堂小結
1.平面是一個不加定義的原始概念，其基本特征是無限延展性.
2.通過三個公理介紹了平面的基本性質，及作用.

名稱	作用
公理1	判定直線在平面內的依據
公理2	確定一個平面的依據
公理3	兩平面相交的依據

3.利用三個公理證明共面、共線、共點問題.
作業
課本習題2.1  A組5、6.

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