視頻標簽：平面向量的概念

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：新教材人教A版高中數學必修第二冊（省優質課）《6.1平面向量的概念》

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新教材人教A版高中數學必修第二冊（省優質課）《6.1平面向量的概念》

課題：6.1 平面向量的概念
一、 教學內容解析
本節是“平面向量”的起始課，具有“統領全局”的作用. 本節概念課，更為重要的不是向量的形式化定義及幾個相關概念，而是能讓學生去體會認識與研究數學新對象的基本思路和方法，進而提高發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.
本節課主要內容包括向量的物理背景與概念，向量的表示，相等向量與共線向量.
二、學生學情分析
    在知識儲備方面，學生已經理解了實數的發展過程、實數的絕對值（線段的長度）、單位長度、0和1的特殊性；直線的平行和線段的共線；以及在物理學科中已經積累的向量模型；
在技能儲備方面，學生已經具備了一定的抽象概括能力，因此，可以嘗試讓學生從實際背景中抽象并概括出向量的概念.
幫助學生理解向量的概念，體驗數學概念的形成過程，培養學生觀察、猜想歸納、類比等發現規律的一般方法。

• 學科核心素養

    目標與素養
1. 了解向量的實際背景，理解平面向量的基本概念，能正確進行平面向量的幾何表示，達到直觀想象核心素養水平一的要求；
2. 掌握向量的長度（模）、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念，并會區分平行向量和相等向量，達到數學抽象核心素養水平一的要求。
    情境與問題
通過“貓捉老鼠”、“祝福短信”、“有趣游戲”三個有趣的情境，提出相應問題，并給出答案，促使學生產生學習向量相關知識的欲望。
內容與節點
本節內容是向量學習的初始課程，是對相關概念的介紹，也是后續學習向量的運算、向量的數量積、向量的坐標表示的基礎。
過程與方法
1.通過對向量物理背景的學習過程，促使學生初步認識現實生活中的向量與數量的本質區別，提升學生的邏輯推理核心素養。
2.通過對向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念的學習過程，提升學生的數學抽象核心素養。
四、重點與難點  
1. 重點：向量的概念，相等向量的概念，向量的幾何表示；
2. 難點：共線向量的概念，向量的幾何表示的生成過程．
五、教學方法與教學手段
 問題引導教學法，啟發式教學，小組合作學習法．
六、教學過程設計
1. 創設情境  建構概念
【情境一】 貓追老鼠
 
 
 
 
 
 
 

[設計意圖] 貓的速度再快也沒用，因為方向錯了，速度是既有大小又有方向的量。
【情境二】學生發來的祝福短信
“老師您好，祝您教師節快樂！我考到了一個離合肥直線距離800公里的大城市讀大學，目前在軍訓了，您猜我在哪個城市？”

【情境三】游戲
游戲：教師邀請兩位同學到講臺前，然后發出口令：“走3米。”
若將口令改為：“向你的正前方走3米”，會怎么樣？
[設計意圖] 通過熟悉的問題情境，引發學生思考.只有大小，沒有方向，并不能給出具體的位置。
 

[設計意圖] 激活學生的已有相關經驗，準確抓住向量的本質特征；突顯向量的兩大要素，體會向量與數量的區別。
概念：在數學中，我們把既有大小又有方向的量叫做向量。   
2. 幾何表示  理解概念


 
 

    【問題3】實數a是一個數量，數軸上表示它的點是一個點A，一個點也是幾何圖形，那么向量呢？我們能不能也找到一種幾何圖形來表示平面向量呢？
  [設計意圖] 類比實數的點表示，尋求向量的幾何表示.
【課本引言】例如下圖中的小船的位移，小船由A地向東南方向航行15 n mile到達B地

 [設計意圖] 用有向線段表示位移.

[設計意圖] 物理中用“帶箭頭的線段”表示力，貼近學生的“最近發展區”，層層遞進，順利找到向量的幾何表示，指出也可以用表示，并請同學們自學閱讀課本第6頁《向量及向量符號的由來》。
概念：以A為起點，B為終點的有向線段記作.
向量的幾何表示——用字母表示.
1、用小寫字母表示：、、......
2、用大寫字母表示：（A為起點、B為終點） 
概念：向量的大小為向量的長度（或稱模），記作.
[設計意圖]在學生熟練掌握實數絕對值的幾何意義的基礎上，將這一符號表示方法類比到向量的模的表示上.
【問題】 在你畫的實數軸上，哪些實數比較特殊？
概念：長度為0的向量叫做零向量，記作.長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量。
[設計意圖] 引導學生把向量與實數類比.通過0,1兩個特殊實數類比出零向量和單位向量的概念.
3. 探究實例  引出關系
  【互動探究】在坐標紙中畫出如圖4所示的向量.
(1) 圖中哪些向量是單位向量？
(2) 三個向量的方向有何關系？
(3) 在大小和方向上有何關系？
(4)

P

Q

概念：
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，規定零向量與任意向量平行即 ；
長度相等且方向相同的向量叫做相等向量；
平行向量也叫做共線向量。
 [設計意圖] 鞏固單位向量的概念；‚該探究將平行向量、相等向量、共線向量的概念的形成過程串在了一起，并讓學生參與這些概念的形成過程，使得概念成為在教師引導下，學生觀察、歸納、概括之后的自然產物.
【互動探究】討論有向線段與向量之間的區別與聯系？
  [設計意圖]  結合上一個探究，讓學生分組討論，通過小組合作學習，體會任一組平行向量都可以平移到同一條直線上，與表示向量的有向線段的起點無關，從而得出平行向量和共線向量是等價的，避免向量的“平行”“共線”與平面幾何中直線的平行和線段的共線相混淆，讓學生認清平行向量與平行線、共線向量與共線線段的區別.
4. 辨析概念  例題互動
 例1判斷下面的說法是否正確
(1) 向量的模的取值范圍是                    (   )
(2) 若與都是單位向量，則                 (   )
(3) 若，則向量與向量方向相同或相反       (   )
(4) 物理學中的作用力與反作用力是一對相等向量     (   )
(5) 若,則                           (   )
  [設計意圖] 本節內容概念較多，容易混淆，這5個概念辨析題的設置基本上涵蓋了本節中所學的新概念及易錯點，加強了學生對概念的理解與記憶.
  【例2】如圖5, 設是正六邊形的中心，分別寫出圖5中與                     相等的向量.
 
 
 
 
 
  [設計意圖] 讓學生在尋找相等向量的過程中，進一步體會相等向量的概念.
  【變式】 如圖6，設是正六邊形的中心，請在圖中作出與共線的向量.        
  [設計意圖] 進一步體會共線向量的概念以及共線向量和相等向量的區別.
5. 課堂小結  作業布置
  【課堂小結】請同學歸納總結本節課所學新知識及所用數學思想方法.
新知識：

 
數學思想方法：類比、數形結合的數學方法
  [設計意圖] 由學生總結概括本節課所學習的主要內容，教師加以提煉. 并總結學習新概念的基本思路，即：

 
 
 
 

  【作業布置】
 (1) 習題6.1：第1題，第2題，第3題.
 (2)拓廣題：第4題
 (3) 閱讀課本第6頁《向量及向量符號的由來》.
   [設計意圖] 面向全體學生布置作業，鞏固所學知識；‚通過自學閱讀材料，讓學生了解向量的歷史背景及符號的由來，讓學生體會高度抽象的數學概念不是憑空出現的，讓學生接受數學文化的熏陶，激發學生的學習興趣．
七．教學設計說明
通過本節課的教學，我有以下幾點體會：
數學概念是從一些具體的，有相同屬性的現象當中抽象出來的，這些本質屬性就是概念的內涵，因此對概念的學習是本節課的主要活動，在教學設計上，我采取以下的學習步驟：
1. 提供向量的實際背景，使學生獲得豐富的感性材料，提升直觀想象的核心素養；
2. 分析這些實際背景，抽象出它所反映的事物的共同屬性，概括形成新的概念，提升數學抽象的核心素養；
3. 擬定類比方案，研究新概念，深化對概念的理解，提升邏輯推理、數學建模的核心素養。
4. 運用問題串，互動探究、小組合作、變式教學給人以新鮮感，確保學生參與概念本質的概括活動。

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