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視頻課題：部編版高中新教材優質課比賽（省賽）人教版必修第一冊5.1.1任意角 第一課時_池州

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人教版必修第一冊5.1.1任意角 第一課時_池州

5.1.1 任意角
教學設計
1.課時教學內容
   5.1.1 任意角
2.課時教學目標
（1）通過實例展示，理解角的概念推廣的必要性，理解并掌握正角、負角、零角、終邊相同角的概念即表示；
（2）樹立運動變化的觀點，并由此深刻理解推廣之后的角的概念，提升學生數學抽象和直觀想象素養，達到水平一的要求；
（3）會判斷任意角的終邊在平面直角坐標系中的位置，初步擁有從“數”、“形”兩方面認識數學概念的意識。
3.教學重點與難點
重點：將0°〜360°的角的概念推廣到任意角；
難點：任意角概念的構建，用集合表示終邊相同的角。
4.教學設計
4.1知識回顧，創設情境
問題1：在初中階段我們是如何定義角的？
學生1回答：靜態定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形.如：，（角的范圍一般指0°〜180°）。
學生2回答：動態定義:一個角可以看作由一條射線繞它的端點旋轉而成的圖形. 如：,射線的端點稱為角的頂點，射線旋轉的開始位置和終止位置稱為角的始邊和終邊.（角的范圍一般指0°〜360°）。
設計意圖：回顧角的研究擴充過程，明確交流探究的方向，從學生認知的最近發展區設計問題，利于學生自主構建知識體系。
教師：你能說說生活中的旋轉現象嗎？
教師利用多媒體展示東京奧運會上我國跳水運動員的轉體視頻，并讓學生舉例自己熟悉的旋轉現象，如：擰瓶蓋時的旋轉、自行車車輪旋轉等。讓學生在動態的過程中體會：旋轉生成角。
教師：怎樣才能準確地描述這些旋轉現象呢？這些例子中由旋轉生成的角，方向有不同，范圍也不在0º~360º內 ，這就需要對角進行推廣。那該如何推廣呢?
設計意圖：用超過360°旋轉角引起學生的認知沖突,激發學生的探究學習熱情。使他們認識到要準確地表達旋轉運動過程，需要同時說明旋轉量和旋轉方向。引導學生體會僅用0°〜360°的角已經難以回答當前的問題，進而引出學習課題：任意角（角的推廣）.
 
4.2問題引導，探究概念
探究1:大家都知道十二生肖吧（也就是人們的屬相），你能完整的說出它們嗎？這些屬相之間有什么關系？如何表示這種關系？
學生3：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龍、巳蛇、午馬、未羊、申猴、酉雞、戌狗、亥豬.
教師：很好！同學3把生肖和地支聯系起來，都是古時的計時用具，相當于現在的時鐘。請類比時鐘的運行，找出屬相間的關系。
（引導學生總結出12生肖的順序，并類比時鐘的排序方式，把12生肖按順時針均勻排列到圓周上）

 
 
設計意圖：利用屬相，引導學生從身邊的事物探究周期變化現象，滲透數學文化，加深學生對中華傳統文化的認同，引導學生用圓表示周期變化規律，為角的推廣做鋪墊；在合作探究中提升學生的思維與表達、交流與反思水平，在交流討論中發展學生的數學核心素養。
探究2：哪位同學有兄弟姐妹不和自己同歲的？
教師：如有位同學屬猴, 哥哥大他3歲,大家能快速說出這位同學哥哥的屬相嗎？
學生4：屬蛇
教師：你是怎樣快速找到的？
學生4:類比時鐘的運行，指針從屬相猴開始轉，大三歲就是把指針逆時針旋轉三個屬相，得到哥哥的屬相蛇.
教師：很好！如果這位同學有個弟弟小他三歲，你能說出弟弟的屬相嗎？
學生4：屬豬，因為指針從屬相猴開始轉，小三歲就是把指針順時針旋轉三個屬相，得到弟弟的屬相豬.
設計意圖：角的推廣中，角的正負是重、難點，也是易錯點，學生經常忽視射線的旋轉方向，因此這里創設了交流探究的條件,讓學生體會概括順時針和逆時針的不同。多數學生能夠根據圖表得到正確答案, 但不能準確表述具體的操作過程，因此需要教師加以引導，幫助提煉語言，學會用數學的思維思考問題。
探究3：大（小）3歲，用更簡潔的數學符號可以怎么表示？
學生交流討論后，概括總結：用數學符號" + 3” 表示“大3歲"，用"一3”表示“小3歲”;大3歲的生肖是把指針逆時針旋轉三個屬相，小3歲的生肖是把指針順時針旋轉三個屬相，并引導學生旋轉會生成角，這里的角“旋轉三個屬相”的旋轉量，但旋轉方向卻不同，從而得到兩個“相反角”。幫助學生領悟“符號”表示“方向”的數學美！
設計意圖：用符號"+3”表示“大3歲”，進而理解“符號”表示“方向”，體現數學符號語言的簡潔美。同時，類比正負數，用更為簡潔的正負號來表述“逆時針”和“順時針”旋轉，定義正負角后，擴充角的范圍就水到渠成。在概念的形成過程中，讓學生體會數形結合的思想方法，使學生知其然，還要知其所以然，并體會何由以知其所以然。
 
4.3交流反思，概括總結
問題3：根據前面的探究，大家能用數學語言重新定義角（任意角）嗎？
反思探究的過程和結論，師生共同給出任意角的定義:一條射線繞其端點旋轉形成的圖形。（但已突破0°〜360°）
正角：一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角叫作正角。負角：一條射線繞其端點按順時針方向旋轉形成的角叫作負角。零角：如果一條射線沒有作任何旋轉，就稱它形成了一個零角。
利用多媒體呈現隨著終邊按不同方向的不斷旋轉獲得的角的不斷增大（減小），即角可以無限大（小）.從而將角最終推廣到任意角。并借助多媒體體將角的始邊位置固定在軸正半軸上，終邊位置的變化概括出象限角與軸線角。
設計意圖：通過交流反思，概括出角的相關概念，體會刻畫這些角時，不僅要用旋轉量，還要用旋轉方向，引導學生用數學語言描述問題，幫助學生體會角雖然只有大小，但角的大小對應角的終邊的旋轉方向和旋轉量。在平面直角坐標系中固定角的始邊位置，通過終邊位置的變化引導學生概括出象限角與軸線角的分類，以對原有的知識體系進行重新建構。
 
4.4 概念深入，探究性質
探究4：在角的范圍擴展到任意角后，是否有“小角減大角”這樣的運算？該如何運算？
教師：以為例，猜想運算結果
眾學生：
教師：如何論證呢？引導學生減法是加法的逆運算，可設，嘗試作圖檢驗結果.
學生5：把角α的終邊旋轉角β，這樣旋轉生成角為“”其中旋轉方向由角的正負符號決定。
教師：很好！這樣便可把角的運算類比到實數的運算。體會到角雖然只有大小，但角的大小對應角的終邊的旋轉方向和旋轉量。
設計意圖：就像將數軸上的點在數軸上左右運動與實數的代數和統一起來一樣，我們把角的終邊的順時針、逆時針旋轉與角的加法聯系起來。從而體會用符號表示方向，這一數學常用的、重要的手段。
問題5：請大家找找圖中這兩個角的異同點.
學生6：都是第一象限角，但角的大小不同
教師：還有嗎？
學生6：兩角的始邊與終邊都相同
教師：很好！我們能肯定它們之間一定有內在聯系，是怎樣的聯系呢？
引導學生從具體角出發，例舉與其終邊相同的角，并讓學生獨立嘗試用集合表示出與角終邊位置相同的所有角。
設計意圖：引入象限角后，出現了一條終邊可以對應無數個角的情況，這時可以提出兩個終邊相同的角之間有什么內在聯系？強化，確定同一事物兩種表示之間的聯系、轉化，是數學的一個基本任務。
引導學生嘗試用數量關系表示出與任意角終邊位置相同角的集合.
設計意圖：從形到數、從具體到抽象，引導學生把“角的終邊繞原點旋轉整數周后回到原來位置”用數量關系表示出來。
 
4.5當堂總結，課下探究
引導學生回顧本節課任意角的研究途徑：背景--定義--運算--性質。并由學生交流討論，概括當堂所學的知識（任意角、象限角、終邊相同的角）與技能（分類討論、抽象概括、數形結合及類比思想的運用等），反思個人在小組交流探究中提出和解決的問題及對問題的思維與表達，初步形成個人的反饋評價，然后找同學進行展示、交流、補充。并留出思考題（當角的終邊在某個區域內(如：第一象限內)時，其構成的集合如何表示呢？）和布置作業：課本175頁練習4，5.
設計意圖：查漏補缺，幫助學生進行知識建構；了解學生的素養水平，為下一步的教學設計提供依據；通過對情境問題的進一步探究，思考實數與角的一一對應，為弧度制的引入做好鋪墊.并通過作業習題鞏固概念，使學生知識技能、綜合能力得到提升.
5.  目標檢測設計
題1：寫出終邊在射線上的角的集合，中滿足不等式的元素有哪些？
題2：寫出終邊在直線上的角的集合，中滿足不等式的元素有哪些？
（設計意圖：幫助學生鞏固終邊相同的角的表示）
題3：當角的終邊在某個區域內(如：第一象限內)時，其構成的集合該如何表示呢？
    （設計意圖：將第一象限角的表示作為課后思考作業留給學生，讓學生類比出用不等式表示出區域角的集合表達.提升學生的邏輯推理和數學運算素養)

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