視頻標(biāo)簽：平面向量基本定理

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（省優(yōu)質(zhì)課）《6.3.5平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》安徽安慶

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新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（省優(yōu)質(zhì)課）《6.3.5平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》安徽安慶

6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
【內(nèi)容和內(nèi)容解析】

1. 內(nèi)容

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.

2. 內(nèi)容解析

本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書》（人教A版）必修第二冊(cè)第六章《平面向量及其應(yīng)用》第三節(jié)的第四課時(shí).是在平面向量的坐標(biāo)表示以及平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律的基礎(chǔ)上展開的，介紹了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式、兩個(gè)平面向量的夾角的坐標(biāo)表示和向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件.向量的數(shù)量積體現(xiàn)了向量的長(zhǎng)度和角度之間的一種關(guān)系，特別是用向量的數(shù)量積能有效地解決線段垂直問題，把向量的數(shù)量積應(yīng)用到三角形中，還能解決三角形邊角之間的有關(guān)問題，而平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，就是運(yùn)用坐標(biāo)這一量化工具表達(dá)向量的數(shù)量積運(yùn)算，為研究平面中的距離、垂直、角度等問題提供了全新的手段，它把向量的數(shù)量積與坐標(biāo)運(yùn)算兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)緊密聯(lián)系起來，是本章的重要內(nèi)容.
基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，并能用坐標(biāo)形式處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題.
【目標(biāo)和目標(biāo)解析】
1.目標(biāo)
（1）理解、掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；
（2）理解、掌握平面向量的模、夾角等公式，能夠用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題.
2.目標(biāo)解析
達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志：
（1）經(jīng)歷根據(jù)平面向量數(shù)量積的意義探究其坐標(biāo)表示的過程，體驗(yàn)在此基礎(chǔ)上探究發(fā)現(xiàn)向量的模、夾角等重要的度量公式的成功樂趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新精神；
（2）通過對(duì)向量平行與垂直的充要條件的坐標(biāo)表示的類比，教給了學(xué)生類比聯(lián)想的記憶方法.
【教學(xué)問題診斷分析】
雖然本節(jié)課之前學(xué)生已學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示和平面向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算，但數(shù)量積是用長(zhǎng)度和夾角這兩個(gè)概念來表示的，應(yīng)用起來不太方便，如何用坐標(biāo)這一最基本、最常用的工具來表示數(shù)量積，使之應(yīng)用更方便，就是擺在學(xué)生面前的一個(gè)亟待解決的問題.因此，本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是學(xué)生認(rèn)知發(fā)展和知識(shí)構(gòu)建的一個(gè)合情、合理的“生長(zhǎng)點(diǎn)”.從知識(shí)的接受上，學(xué)生并不困難，也能理解各個(gè)公式的坐標(biāo)表示，所以，本節(jié)課采取以學(xué)生自主完成為主，教師查漏補(bǔ)缺的教學(xué)方法展開教學(xué).然而，學(xué)生對(duì)如何將問題轉(zhuǎn)化為用向量方法求解存在思維障礙，本節(jié)課的難點(diǎn)是學(xué)會(huì)將問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問題，體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.
【教學(xué)支持條件分析】
    在學(xué)生自主探究平面向量模長(zhǎng)、夾角、垂直的公式的過程中，展示學(xué)生的討論結(jié)果，幫助學(xué)生闡釋結(jié)論的推導(dǎo)過程.
【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】

教學(xué)流程	教師活動(dòng)	學(xué)生活動(dòng)	設(shè)計(jì)意圖
（一）復(fù)習(xí)引入，溫故知新	復(fù)習(xí)：平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，設(shè),，則， ，，那么=？	復(fù)習(xí)回顧	由舊知識(shí)入手，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)過的知識(shí)，以便向新知識(shí)進(jìn)行探索.
（二）合作學(xué)習(xí)，探究新知	探究1：已知兩個(gè)非零向量，，怎樣用與的坐標(biāo)來表示呢？ 設(shè)向量分別為平面直角坐標(biāo)系的軸、軸上的單位向量，則有， ∴              兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和. 探究2： 問題1：回憶向量的數(shù)量積有哪些性質(zhì)？ 問題2：已知，，則以上性質(zhì)形式如何？ ， 同理， 問題3：設(shè),，則的模如何計(jì)算？ ，	動(dòng)手演算 合作交流                     討論交流	先讓學(xué)生自主推導(dǎo)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示形式，體會(huì)知識(shí)的形成過程，然后解釋推導(dǎo)的過程，分享學(xué)習(xí)的成果，構(gòu)建和諧的學(xué)習(xí)氛圍.                 探究2引導(dǎo)學(xué)生歸納出坐標(biāo)表示的性質(zhì)，讓學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)系統(tǒng)，充分展現(xiàn)師生互動(dòng).       問題3完備向量的模長(zhǎng)公式，總結(jié)出兩點(diǎn)間的距離公式.
（三）學(xué)以致用，鞏固新知	例6：已知，求，，與的夾角. 例7：已知，，，試判斷的形狀，并給出證明. 解：是直角三角形. 證明如下： ∵  ， ∴  ∴            探究：用向量的方法來推導(dǎo)兩角差的余弦公式 思考1：結(jié)合圖形，應(yīng)該選擇哪幾個(gè)向量，它們是怎樣表示的？ 思考2：怎樣利用向量的方法得到探索結(jié)果？ 思考3：與之間有什么關(guān)系？	積極思考 交流思路               師生合作 積極思考	例6鞏固本節(jié)所學(xué)基本公式. 例7先放手讓學(xué)生自主探索，交流思路，讓學(xué)生體會(huì)分類討論的思維方式.再讓學(xué)生畫出簡(jiǎn)圖，直觀感知三角形的形狀，然后引導(dǎo)學(xué)生分析解答.注重培養(yǎng)學(xué)生由觀察——猜測(cè)——證明的思維方法. 探究的設(shè)置旨在讓學(xué)生體會(huì)用向量方法解決問題的簡(jiǎn)潔性，感受向量的工具作用.
（四）總結(jié)整理， 提高認(rèn)識(shí)	本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？又掌握了哪些思想方法？	歸納小結(jié)	從知識(shí)要點(diǎn)和思想方法兩方面對(duì)課堂教學(xué)進(jìn)行小結(jié)，使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有一個(gè)完整的印象，使知識(shí)系統(tǒng)化、條理化.
（五）布置作業(yè)	鞏固作業(yè)：練習(xí)1,2,3 拓展作業(yè)：習(xí)題6.3第15、16題	課后鞏固	布置作業(yè)，鞏固所學(xué)知識(shí).

 
 

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