視頻標簽：拋物線及其標準方程

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視頻課題：人教版新教材選擇性必修第一冊3.3.1拋物線及其標準方程（祝）

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人教版新教材選擇性必修第一冊3.3.1拋物線及其標準方程（祝紅梅）

  教學設計：
引導語：通過前面的學習可以發現，如果動點M到定點F的距離與M到定直線l（不過點F）的距離之比為k，當0<k<1時，點M的軌跡為橢圓；當k>1時，點M的軌跡為雙曲線。一個自然的問題是：當k=1時，點M的軌跡會是什么形狀？下面我們就來研究這個問題。
1.拋物線概念的獲得
問題1：利用信息技術作圖。如圖1，F是定點，l是不經過點F的定直線。H時直線l上任意一點，過點H作MH⊥l,線段FH的垂直平分線m交MH與點M。拖動點H，觀察點M的軌跡，在你熟悉的圖形中有于此類似的嗎？你能發現點M滿足的幾何條件嗎？。
圖1
師生活動：教師出示問題1，引導學生分析問題中的幾何元素以及相互關系，并利用信息技術工具進行操作，拖動點H，觀察點M的軌跡及相關數據的變化規律。
追問：(1) 動點M是如何獲得的？
（2）在M運動的過程中哪些是不動的？
（3）在M運動的過程中和M相關哪些量是變化的，哪些關系是不變的？
師生活動：三個追問是讓學生在利用信息技術工具操作的過程中從思維層面問題1進行分析。
對于追問（1），學生分析與點M相關的點與直線，發現點M是定直線l的垂線MH與線段FH的垂直平分線m的交點，其中點H在直線l上運動，隨之產生了動點M。
對于追問（2），學生分析出定點F和定直線l,而不僅僅是點F和直線l,只有這樣，學生的思維活動才能聚焦到確定拋物線的幾何特征上來。
對于追問（3），學生應在分析前兩個追問的基礎上梳理變化的量及其不變的量，可以發現FM和MH的大小隨點M的變化而變化，但是始終有∣FM∣=∣MH∣。
在上述基礎上，出拋物線的概念。
設計意圖：通過對問題1的探究及其三個追問，引導學生發現確定拋物線的幾何要素，認識拋物線的幾何特征，抽象得出拋物線的概念，發展學生的數學抽象素養。

2. 建立拋物線的標準方程

問題2：觀察圖1中的拋物線，如何選擇坐標系可能使所求拋物線的方程形式簡單？
師生活動：學生觀察拋物線形狀，教師引導學生直觀發現拋物線的對稱性，建立平面直角坐標系，自主推導拋物線的方程。一般來說，會有以下三種情況。（圖2）
 
展示學生所求的三種不同形式的拋物線方程。
追問：（1）類比橢圓、雙曲線標準方程的建立過程，每個方程的推導過程是否滿足拋物線上點的坐標與方程的解之間的一一對應關系？

1. 三種不同形式的拋物線方程哪個更簡單？為什么？

師生活動：當學生思考問題2時，一般會出現將坐標系的原點選在定點F、線段FK的中點、定直線l上三種情況。無論是哪一種情況,追問（1）是必不可少的步驟，也容易被學生忽略。當學生分別得到自己推出的方程后，教師提出追問（2），要求學生對它們進行比較，已確定哪個方程更適合作為拋物線的標準方程。
在學生充分思考與推導的基礎上，對比分析三種不同形式的拋物線方程及其聯系，由學生確定將y²=2px（p>0）作為拋物線的標準方程,同時寫出其焦點坐標和標準方程。
設計意圖：通過問題2及其兩個追問，注重學生思維的發生點，讓學生類比橢圓與雙曲線標準方程的推導方法，自主推導拋物線的標準方程，體驗類比方法，提升數學運算素養。
問題3：在平面直角坐標系中，類比橢圓、雙曲線，怎樣求不同開口方向的拋物線的標準方程？
師生活動：在已獲得拋物線的方程y²=2px（p>0）的基礎上，讓學生類比橢圓、雙曲線標準方程的不同形式，再分別獲得開口向左、上、下的拋物線的標準方程，確定相應的焦點坐標和準線方程，并將結論填寫在下面的表中。
追問：（1）只研究表中四種形式的拋物線標準方程基于怎樣的思考？
師生活動：對于追問（1），學生類比橢圓、雙曲線的標準方程，并根據拋物線只有一個焦點，按焦點所在坐標軸的位置能推斷出表中其他三種情況。
設計意圖：通過問題三及其追問，類比橢圓與雙曲線不同形式的標準方程，利用表格的形式呈現拋物線不同形式（焦點位置的不同）的標準方程。

3. 拋物線及其標準方程的鞏固與運用

例1（1）已知拋物線的標準方程是y²=6x，求它的焦點坐標和準線方程。
（2）已知拋物線的方程是y=6x²,求它的焦點坐標和準線方程。

1. 已知拋物線的焦點坐標是F（0.-2），求它的標準方程。

師生活動：學生根據拋物線的標準方程求其焦點坐標和準線方程，根據拋物線焦點坐標，求其標準方程。
設計意圖：無論是由拋物線的標準方程求其焦點坐標和準線方程，還是由拋物線焦點坐標或準線方程求其標準方程，正確認識拋物線的標準方程以及方程中P的意義都非常關鍵。P是拋物線的唯一特征量，決定拋物線的焦點坐標和準線方程。通過例1強化學生對拋物線標準方程、P、焦點坐標以及準線方程的認識。
跟蹤訓練：（1）拋物線4x²+3y=0的焦點坐標為     ，準線方程為    。

1. 已知焦點到準線的距離是5求拋物線的標準方程。
2. 拋物線y²=8x上與焦點的距離等于6的點的坐標為    。

設計意圖：鞏固拋物線的標準方程、焦點坐標以及準線方程。
     思考：你能說明二次函數y=ax²（a≠0）的圖像為什么是拋物線嗎？指出它的焦點坐標、準線方程。
     師生活動：教師引導學生從拋物線的標準方程分析，選擇將y=ax²變形為x²=y求焦點坐標、準線方程。
  設計意圖：進一步鞏固拋物線的標椎方程。

4. 小結

教師引導學生自主總結本節課所學的內容，包括知識層面、方法層面。

1. 知識層面包括拋物線的定義，拋物線的標準方程。
2. 方法層面包括數形結合的思想，類比的方法。

5. 達標檢測

1.若動點P到定點F（-4,0）的距離與到直線x=4的距離相等，則P點的軌跡是                                                                                    (      )
   A.拋物線                                 B.線段
   C.直線                                     D.射線
設計意圖：考察學生對拋物線定義的掌握。
2.已知動點P到定點（0,2）的距離和它到直線l：y=2的距離相等，則點P的軌跡方程為                                                                 （    ）
   A.拋物線                                 B.線段
   C.直線                                     D.射線
設計意圖：考察學生對拋物線定義的掌握。

3. 已知拋物線的準線方程 是x = -2，求拋物線的標準方程。

設計意圖：考察學生由已知條件求拋物線的標準方程。

4. 已知拋物線的方程2y²-5x=0，求焦點坐標和準線方程.

設計意圖：考查學生將方程變形為標準方程，然后運用標準方程獲得焦點坐標、準線方程。
 
 
 
 
 

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