視頻標(biāo)簽：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：信息素養(yǎng)提升實(shí)踐融合創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案例（安徽）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

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高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

高中數(shù)學(xué)  人民教育出版社   選擇性必修第一冊(cè)  第三章 
3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程   教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教材分析
本節(jié)課是新版教材人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)普通高中教科書，數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第三章第3節(jié)《拋物線》第1課時(shí)，從內(nèi)容上看它是我們前兩節(jié)橢圓和雙曲線學(xué)習(xí)的延續(xù)，也是對(duì)初中學(xué)習(xí)拋物線的一種延申，這樣可以分散難點(diǎn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。本節(jié)課通過課本中橢圓和雙曲線章節(jié)已學(xué)過的例題，呈現(xiàn)出曲線上的點(diǎn)滿足的一個(gè)幾何性質(zhì)出發(fā)，畫出圖象，再從圖象上的點(diǎn)滿足的幾何特征總結(jié)歸納出拋物線的定義，類比橢圓和雙曲線，推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，領(lǐng)會(huì)研究學(xué)習(xí)圓錐曲線的一般方法，同時(shí)本節(jié)課在整章中占有前后呼應(yīng)的地位，為圓錐曲線的學(xué)習(xí)起到了積極的作用.
二、教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

1. 課程目標(biāo)：

（1）理解并掌握拋物線的畫法；
（2）理解并掌握拋物線的定義，掌握拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程;
（3）理解并掌握標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程間的關(guān)系；
（4）探究掌握四種不同開口拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（5）培養(yǎng)勇于探索的精神，體會(huì)由特殊到一般的研究方法，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
2.核心素養(yǎng)

1. 數(shù)學(xué)抽象：定義的歸納；
2. 邏輯推理：標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)；
3. 數(shù)學(xué)運(yùn)算：標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程的求解；
4. 直觀想象：四種不同開口拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（5） 數(shù)學(xué)建模：將生活科技中的數(shù)學(xué)問題抽象成數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析求解.
 
三、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：拋物線圖象的形成過程，拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程；
難點(diǎn)：四種不同拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程的求解；
 
四、課前準(zhǔn)備：多媒體、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)軟件
 
五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
 
（一）復(fù)習(xí)回顧
引導(dǎo)語：在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，先來回顧課本第113頁和125頁的兩道例題，如下所示：


師生活動(dòng)：根據(jù)之前的學(xué)習(xí)，我們知道定值k為圓錐曲線的離心率，對(duì)于例題中動(dòng)點(diǎn)具有的幾何性質(zhì)，我們可以總結(jié)如下：

動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與M到定直線 （不過點(diǎn)F）的距離之比為		橢圓
		雙曲線
		？

很自然可以想到，k=1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)是什么曲線？
設(shè)計(jì)意圖：通過溫故知新，通過課本例題，提出問題，這樣可以讓學(xué)生回歸課本，更加凸顯課本內(nèi)容的重要性，讓學(xué)生能真實(shí)的感受到對(duì)所學(xué)知識(shí)的總結(jié)和探究，培養(yǎng)和發(fā)展了同學(xué)們數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，激發(fā)了同學(xué)們探究的興趣.
 
（二）探究新知
 
1.創(chuàng)設(shè)問題情景
例：水田邊上有一條小河（可近似看成一條直線）和一口水井，稻農(nóng)可以選擇在小河里或者水井里取水灌溉，那么該如何選擇，才可以更加方便呢？
 
師生活動(dòng)：教師提出問題，小組討論，教師提問，同學(xué)們回答并補(bǔ)充.
追問1：根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，稻農(nóng)該怎么選擇？
追問2：請(qǐng)你借用數(shù)學(xué)知識(shí)，幫稻農(nóng)選擇？
 
師生活動(dòng)：對(duì)于追問1，學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)可以回答，哪里近就選擇哪里.對(duì)于追問2，學(xué)生能根據(jù)以前學(xué)習(xí)的知識(shí)，回答出尋找臨界點(diǎn)，即找到分界線.
教師肯定兩位同學(xué)的回答，對(duì)于追問2，教師要引導(dǎo)學(xué)生說出距離相等與分界線兩個(gè)關(guān)鍵詞。
 
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感受到人類利用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決生活中問題，體會(huì)人類智慧無處不在；作為學(xué)生，我們應(yīng)該學(xué)會(huì)利用所學(xué)知識(shí)去服務(wù)社會(huì)，服務(wù)人類；同樣本例的2個(gè)追問的設(shè)計(jì)主要是引導(dǎo)同學(xué)們?nèi)フ曳纸缇�，這樣可以與后面畫拋物線圖象呼應(yīng)，提前形成“形”的意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
 
2.實(shí)驗(yàn)探究
探究1  利用信息技術(shù)作圖，如圖， 是定點(diǎn)， 是不經(jīng)過點(diǎn) 的定直線， 是動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) 作 ，垂足為 ，連接 , 希望得到 ，我們?cè)撛趺创_定這樣 點(diǎn)的位置呢？
 

師生活動(dòng)：提問學(xué)生，要想找到符合條件的M點(diǎn)，你有什么想法，并請(qǐng)學(xué)生利用信息技術(shù)展示實(shí)驗(yàn)探究成果；為了讓學(xué)生能更好的探究，設(shè)置了7個(gè)追問.


設(shè)計(jì)意圖：讓同學(xué)們參與實(shí)驗(yàn)探究過程，充分掌握并理解拋物線圖象的生成過程，通過7個(gè)追問，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)拋物線上動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何特征，能夠抽象出拋物線的定義，同時(shí)也提升了學(xué)生的實(shí)驗(yàn)操作能力及探究精神，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
 
3.定義形成

師生活動(dòng)：提問同學(xué)，根據(jù)剛剛圖象的生成過程及動(dòng)點(diǎn)M滿足的幾何特征，你能概括出拋物線的定義嗎？
引導(dǎo)學(xué)生回答出在平面內(nèi)，到定點(diǎn)與到定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡就叫做拋物線.教師充分肯定，同時(shí)也提出不足，對(duì)于點(diǎn)F不在定直線 上限制條件的說明不能遺漏；教師要引導(dǎo)同學(xué)探究特殊情況，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么呢？
 
設(shè)計(jì)意圖：通過之前對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究的理解，能根據(jù)M點(diǎn)滿足的幾何特征，抽象得出拋物線的概念，提升了學(xué)生識(shí)圖，歸納的能力，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).對(duì)概念中特殊情況的討論，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).
（三）標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)
1．師生活動(dòng)：同學(xué)們回顧求曲線方程的步驟（1）建系（2）設(shè)點(diǎn)（3）列式（4）化簡(jiǎn)（5）檢驗(yàn)
提出問題：觀察圖象，該如何建立直角坐標(biāo)系呢？

學(xué)生觀察拋物線的圖象，教師引導(dǎo)學(xué)生直觀發(fā)現(xiàn)拋物線的對(duì)稱性，建立平面直角坐標(biāo)系，自主推導(dǎo)拋物線的方程.
展示各小組的結(jié)果，一般來說，會(huì)有三種情況，
                
         
追問1: 比較橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，你認(rèn)為如何建立坐標(biāo)系，
能使所求拋物線的方程形式簡(jiǎn)單？
追問2：三種不同形式的拋物線方程是否有聯(lián)系？
師生活動(dòng)：學(xué)生在思考追問1時(shí)肯定會(huì)選擇第三種建立直角坐標(biāo)系的方法，
此時(shí)教師追問2，從聯(lián)系的角度讓學(xué)生思考三種不同形式拋物線方程可以通過平移變換互化.選定第三種建立直角坐標(biāo)系的方法，展示學(xué)生的推導(dǎo)過程，重點(diǎn)評(píng)析求曲線方程的第5步檢驗(yàn)環(huán)節(jié).
設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生小組不同探究結(jié)果比較，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維；展示不
同小組的成果，肯定各個(gè)小組的探究過程，體驗(yàn)類比方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
探究2  在建立橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，選擇不同的坐標(biāo)系我們得到了不
同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些不同的形式？請(qǐng)大家完成課本131頁的表格.
師生活動(dòng)：教師指導(dǎo)各小組探究并展示小組結(jié)果.
  
追問1：標(biāo)準(zhǔn)方程有什么特征？
追問2：開口方向與方程有什么關(guān)系？
追問3：標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程都含有什么共同的參數(shù)？
 
師生活動(dòng)：對(duì)于追問1，學(xué)生通過比較、歸納各個(gè)方程的特征，能準(zhǔn)確回答出等式左邊都是二次項(xiàng)，右邊都是一次項(xiàng)；對(duì)于追問2，教師引導(dǎo)學(xué)生從焦點(diǎn)的位置去確定開口的位置，進(jìn)而得到一次項(xiàng)定焦點(diǎn)，一次項(xiàng)系數(shù)正負(fù)定方向的規(guī)律；對(duì)追問3的回答，主要是讓學(xué)生明確 是拋物線方程的唯一特征量.
設(shè)計(jì)意圖：通過探究2和三個(gè)追問，類比橢圓與雙曲線不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用表格形式呈現(xiàn)拋物線不同形式（焦點(diǎn)位置不同）的標(biāo)準(zhǔn)方程.
 
思考2：你能說明二次函數(shù) 的圖象為什么是拋物線嗎？指出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.
師生活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生利用剛剛所學(xué)知識(shí)思考回答，一般情況會(huì)有兩種想法，一種是通過定義證明，另一種是通過標(biāo)準(zhǔn)方程角度分析.
教師可以引導(dǎo)學(xué)生從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析，將 變形為 ,然后求焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.再次回來帶著學(xué)生利用找到的定點(diǎn)和定直線用定義去證明.
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生親自去解決可能的疑惑——初中的二次函數(shù)圖象和高中所學(xué)的拋物線是否一致，提升了學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
 
（四）運(yùn)用：
例1：（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ,求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（2）已知拋物線的焦點(diǎn)是 ,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.
 
師生活動(dòng)：提問：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程由什么決定？           
教師引導(dǎo)學(xué)生從（1）焦點(diǎn)的位置，（2）𝑝的值，去回答問題，明確先定位再定量.教師在黑板上書寫標(biāo)準(zhǔn)解答過程.
 
練習(xí)：完成課本133頁練習(xí)1并展示學(xué)生的解題過程.
設(shè)計(jì)意圖：無論是由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，還是由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或者準(zhǔn)線方程求其標(biāo)準(zhǔn)方程，正確認(rèn)識(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及方程中 的意義都非常關(guān)鍵. 是拋物線的唯一特征量，決定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.通過例1和練習(xí)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程、 、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程的認(rèn)識(shí).
 
例2：一種衛(wèi)星接收天線如圖所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線.在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，如圖（1）.已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為1m.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo).
.  
師生活動(dòng)：教師引領(lǐng)學(xué)生讀懂題意，啟發(fā)學(xué)生從給出的實(shí)物圖中抽象出數(shù)學(xué)圖形，建立如圖（2）所示的坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求解.
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生運(yùn)用拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程來解決實(shí)際問題，經(jīng)歷將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，解決數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而解決實(shí)際問題的過程.
（五）課堂小結(jié)：
教師引導(dǎo)學(xué)生帶著下列問題回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí)和學(xué)習(xí)過程以及數(shù)學(xué)方法,

1. 拋物線的幾何特征是什么？
2. 拋物線的圖象是怎么生成的？
3. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是如何獲得的？
4. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些不同的形式？
5. 學(xué)習(xí)過程中運(yùn)用到了哪些數(shù)學(xué)方法？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生梳理數(shù)學(xué)知識(shí)、感悟數(shù)學(xué)思想、體會(huì)數(shù)學(xué)研究方法.
 
（六）作業(yè)布置：課本138頁，復(fù)習(xí)鞏固第1、2、4題，拓廣探索第13題.
（七）目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)：完成課本133頁練習(xí)2，練習(xí)3.
設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生靈活運(yùn)用拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何特征解決問題,強(qiáng)化拋物線的定義，唯一特征量 值的意義.
 
 
 
 

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