視頻標(biāo)簽：楊輝三角

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)_數(shù)學(xué)_高中_李媛

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“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)_數(shù)學(xué)_高中_李媛

“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)
教學(xué)設(shè)計
一、教材背景分析
1．教材的地位和作用
《“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)》是人教A版選修2-3第1章第3節(jié)第2課時. 教科書將二項式系數(shù)性質(zhì)的討論與“楊輝三角”結(jié)合起來，是因為“楊輝三角”蘊含了豐富的內(nèi)容，由它可以直觀看出二項式系數(shù)的性質(zhì)，“楊輝三角”是我國古代數(shù)學(xué)重要成就之一，顯示了我國古代人民的卓越智慧和才能，應(yīng)抓住這一題材，對學(xué)生進行愛國主義教育，激勵學(xué)生的民族自豪感.
本節(jié)內(nèi)容以前面學(xué)習(xí)的二項式定理為基礎(chǔ)，由于二項式系數(shù)組成的數(shù)列就是一個離散函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的角度研究二項式系數(shù)的性質(zhì)，便于建立知識的前后聯(lián)系，使學(xué)生體會用函數(shù)知識研究問題的方法，可以畫出它的圖象，利用幾何直觀、數(shù)形結(jié)合、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法進行思考，這對發(fā)現(xiàn)規(guī)律，形成證明思路等都有好處. 這一過程不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、理性精神和實踐能力，也有利于學(xué)生理解本節(jié)課的核心數(shù)學(xué)知識，發(fā)展其數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.
   2．學(xué)情分析
知識結(jié)構(gòu)：學(xué)生已學(xué)習(xí)兩個計數(shù)原理和二項式定理，再讓學(xué)生課前探究“楊輝三角”包含的規(guī)律，結(jié)合“楊輝三角”，并從函數(shù)的角度研究二項式系數(shù)的性質(zhì).
心理特征：高二的學(xué)生已經(jīng)具備了一定的分析、探究問題的能力，恰時恰點的問題引導(dǎo)就能建立知識之間的相互聯(lián)系，解決相關(guān)問題.
3．教學(xué)重點與難點
重點：體會用函數(shù)知識研究問題的方法，理解二項式系數(shù)的性質(zhì).
難點：結(jié)合函數(shù)圖象，理解增減性與最大值時，根據(jù)n的奇偶性確定相應(yīng)的分界點；利用賦值法證明二項式系數(shù)的性質(zhì).
關(guān)鍵：函數(shù)思想的滲透.
二、教學(xué)目標(biāo)
1．通過課前組織學(xué)生開展“了解楊輝三角、探究與發(fā)現(xiàn)楊輝三角包含的規(guī)律”的學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生感受我國古代數(shù)學(xué)成就及其數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感.
2．通過學(xué)生從函數(shù)的角度研究二項式系數(shù)的性質(zhì)，建立知識的前后聯(lián)系，體會用函數(shù)知識研究問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和歸納推理能力.
3．通過體驗“發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋找聯(lián)系、探究證明、性質(zhì)運用”的學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生掌握二項式系數(shù)的一些性質(zhì)，體會應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、特殊到一般進行歸納、賦值法等重要數(shù)學(xué)思想方法解決問題的“再創(chuàng)造”過程.
4．通過恰時恰點的問題引入、引申，采用學(xué)生課前自主探究、課上合作探究、課下延伸探究的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生問題意識，提高學(xué)生思維能力，孕育學(xué)生創(chuàng)新精神，激發(fā)學(xué)生探索、研究我國古代數(shù)學(xué)的熱情.
三、教法選擇和學(xué)法指導(dǎo)
教法：問題引導(dǎo)、合作探究．
學(xué)法：從課前探究和課上展示中感知規(guī)律，結(jié)合“楊輝三角”和函數(shù)圖象性質(zhì)領(lǐng)悟性質(zhì)，在探究證明性質(zhì)中理解知識，螺旋上升地學(xué)習(xí)核心數(shù)學(xué)知識和滲透重要數(shù)學(xué)思想.

• 教學(xué)過程

一次備課:
通過課前導(dǎo)學(xué)案自主學(xué)習(xí),和課前小測發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題.
一、復(fù)習(xí)
二項式定理的公式：                                        
二項展開式的通項是 
公式中叫做          各項二項式系數(shù)分別是                    
二、自主學(xué)習(xí)
（一）、當(dāng)n＝1，2，3，…時，在展開式中，各項的二項式系數(shù)如下

                      
                             
                           
                              
                                 
                                       
（二）、將楊輝三角的空缺處填上。
                1
                 1     1
              1     2      1
                              
         1    4     6      4     1
                                
                                      
 
問題1、上述的二項式系數(shù)表與楊輝三角有怎樣的關(guān)系？
（三）、結(jié)合楊輝三角發(fā)現(xiàn)二項式系數(shù)具有哪些性質(zhì)？
 
 
 
三、合作探究（從函數(shù)角度探究二項式系數(shù)的性質(zhì)）
（一）1、設(shè)函數(shù),函數(shù)的定義域是          
      2、畫出n=6和n=7時函數(shù)并觀察分析它們是否具有對稱性和增  減性與最大值？
 
 
 
小結(jié)：
 
 
（二）問題：展開式的各二項式系數(shù)的和是多少？
探究：（1）計算展開式的二項式系數(shù)的和（=1，2，3，4，5，6）.
（2）猜想展開式的二項式系數(shù)的和.
（3）怎樣證明你猜想的結(jié)論成立？
【問題拓展】你能求嗎？
 
二次備課:針對性地解決問題
1. 引入課題：

這是我們?nèi)A夏傳說中的河圖與洛書，“河出圖，洛出書，圣人則之”。這是華夏文化的起源，其實它們從根本上說是中國最古老的數(shù)陣。進而引入學(xué)生研究的二項式系數(shù)的表也是一個數(shù)陣，最早發(fā)現(xiàn)它的是我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝，進一步介紹楊輝，“楊輝三角”是我國古代數(shù)學(xué)重要成就之一，顯示了我國古代人民的卓越智慧和才能，應(yīng)抓住這一題材，對學(xué)生進行愛國主義教育，激勵學(xué)生的民族自豪感.
2.  各小組展示探究與發(fā)現(xiàn)的成果——“楊輝三角”包含的一些規(guī)律.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生開展課外學(xué)習(xí)，了解“楊輝三角”，探究與發(fā)現(xiàn)“楊輝三角”包含的規(guī)律，弘揚我國古代數(shù)學(xué)文化；展示探究與發(fā)現(xiàn)的楊輝三角的規(guī)律，為學(xué)習(xí)二項式系數(shù)的性質(zhì)埋下伏筆.
3. 感知規(guī)律悟性質(zhì)
.
通過課外學(xué)習(xí)，同學(xué)們觀察發(fā)現(xiàn)了楊輝三角的一些規(guī)律，并且知道楊輝三角的第行就是展開式的二項式系數(shù)，展開式的二項式系數(shù)具有楊輝三角同行中的規(guī)律——對稱性和增減性與最大值.
【設(shè)計意圖】尋找二項式系數(shù)與楊輝三角的關(guān)系，從而讓學(xué)生理解二項式系數(shù)具有楊輝三角同行中的規(guī)律.
3. 聯(lián)系舊知探新知
【問題提出】怎樣證明展開式的二項式系數(shù)具有對稱性和增減性與最大值呢？
【問題探究】探究：（1）展開式的二項式系數(shù)，可以看成是以為自變量的函數(shù)嗎？它的定義域是什么？
（2）畫出和7時函數(shù)的圖象，并觀察分析他們是否具有對稱性和增減性與最大值.
 

（3）結(jié)合楊輝三角和所畫函數(shù)圖象說明或證明二項式系數(shù)的性質(zhì).
對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等．．
增減性與最大值：，所以相對于的增減情況由決定．由可知，當(dāng)時，二項式系數(shù)是逐漸增大的．由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值．當(dāng)的偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時，中間的兩項，相等，且同時取得最大值．
【設(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)思想探究二項式系數(shù)的性質(zhì)，學(xué)生畫圖并觀察分析圖象性質(zhì)；運用特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想歸納二項式系數(shù)的性質(zhì)，升華認識；通過分組討論、自主探究、合作交流，說明或證明二項式系數(shù)的對稱性和增減性與最大值，提高學(xué)生合作意識.
4. 合作交流議方法
【繼續(xù)探究】問題：展開式的各二項式系數(shù)的和是多少？
探究：（1）計算展開式的二項式系數(shù)的和（=1，2，3，4，5，6）.
（2）猜想展開式的二項式系數(shù)的和.
（3）怎樣證明你猜想的結(jié)論成立？
賦值法：已知，
令，則．
這就是說，的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于．
【問題拓展】你能求嗎？
在展開式中，令，
則得，
即，所以，
在的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.
【設(shè)計意圖】通過學(xué)生歸納猜想各二項式系數(shù)的和，引導(dǎo)學(xué)生驗證猜想結(jié)論是否正確；同時為了突破利用賦值法證明二項式系數(shù)性質(zhì)的難點，引導(dǎo)學(xué)生從模型化的角度出發(fā)，多角度的分析問題、探究問題、解決問題.
5. 反饋升華撥思路
練1．的展開式中的第四項和第八項的二項式系數(shù)相等，則等于      .
練2．的展開式中前   項的二項式系數(shù)逐漸增大，后半部分逐漸減小，二項式系數(shù)取得最大值的是第     項.
【設(shè)計意圖】促進學(xué)生進一步掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)，學(xué)會用賦值法解決問題，促進其有意識的運用．
6. 懸念小結(jié)再求索
【課堂小結(jié)】 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲和體會（從數(shù)學(xué)和生活的角度）？
【課堂延伸】今天同學(xué)們展示了一些楊輝三角的規(guī)律，但是作為我國古代數(shù)學(xué)重要成就之一的楊輝三角還有更多有趣的規(guī)律，相信大家一定有極高的熱情和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度去探究與發(fā)現(xiàn)楊輝三角的奧妙之處.
【課外活動】（研究性學(xué)習(xí)）
活動主題：楊輝三角中的奧妙.
活動目標(biāo)：探究與發(fā)現(xiàn)楊輝三角中的更多奧妙.
 
 
  7.布置作業(yè):
    分層17--18頁

8. 板書設(shè)計:

   二項式系數(shù)的三個性質(zhì):
          對稱性:
          增減性和最大值:
          二項式系數(shù)的和:
  思想和方法上:歸納猜想,有特殊到一般,函數(shù)的思想, 賦值法
 
 

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