視頻標簽：高中數(shù)學必修第二冊

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視頻課題：新教材人教A版高中數(shù)學必修第二冊（省優(yōu)質課）6.2.4平面向量數(shù)量積教學第1課時

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新教材人教A版高中數(shù)學必修第二冊（省優(yōu)質課）6.2.4平面向量數(shù)量積教學設計第1課時

6.2.4 向量的數(shù)量積
一、內容和內容解析
1.內容
平面向量數(shù)量積的概念；投影向量的概念及其意義；平面向量數(shù)量積的性質及運算律.本小節(jié)計劃用2課時，第一課時：數(shù)量積的概念、投影的概念和投影向量的意義；第二課時：平面向量數(shù)量積的性質及運算律.
2.內容解析
本小節(jié)是2019年人教A版必修第二冊第六章第二單元的第四小節(jié)，是在學生已經學習了平面向量的概念和線性運算的基礎上再來探究平面向量數(shù)量積運算，向量的數(shù)量積運算是向量的核心運算.
第一課時以物理中力做功為背景，通過類比抽象得到平面向量夾角和數(shù)量積的概念，通過創(chuàng)設數(shù)學情境，類比力在位移方向上的分力，引出投影向量，通過幾何直觀讓學生探究投影向量的方向和長度，歸納出投影向量的代數(shù)表示，最后引導學生探究了投影向量和數(shù)量積的聯(lián)系，這也是投影向量的意義。
第二課時以問題為導向，引導學生將數(shù)量積公式中的向量特殊化、夾角特殊化得到向量數(shù)量積的有關性質，并類比數(shù)的乘法運算律，結合向量的線性運算律，讓學生猜想數(shù)量積的運算律，并加以驗證，得到數(shù)量積運算的交換律、與數(shù)乘的結合律、分配律.
綜上所述，確定本節(jié)課的教學重點：平面向量數(shù)量積的概念與投影向量.；平面向量數(shù)量積的性質及運算律.
二、教學目標
1.目標
（1）理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義；會計算平面向量數(shù)量積；
（2）通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念和投影向量的意義.
（3）理解平面向量數(shù)量積的性質及運算律.
2.目標解析
達成上述目標的標志是：
（1）學生能從物理中力做功的實例抽象出向量夾角和平面向量數(shù)量積的概念，體會數(shù)學概念的生成過程，感悟數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學思想的作用；會計算平面向量數(shù)量積，知道它的結果是數(shù)量；能描述平面向量的數(shù)量積、長度、夾角之間的關系.
（2）能結合具體例子畫圖解釋一個向量向另一個向量上的投影向量，知道兩個向量的夾角的大小對投影向量的影響；知道平面向量投影與平面向量數(shù)量積之間的關系，體會平面向量投影是構建高維空間與低維空間之間聯(lián)系的橋梁.
（3）能借助向量投影說明數(shù)量積的運算性質，區(qū)分平面向量數(shù)量積與實數(shù)的積的不同含義.
    三、教學問題診斷分析
學生已經學習了平面向量的加法、減法、數(shù)乘運算，有了一些研究平面向量運算的經驗，積累了一些從簡單的物理背景抽象出數(shù)學概念的能力，另外學生已經具備了一定觀察問題、分析問題的能力，這些都是學習本節(jié)課的基礎。
但在概念課中，學生自主構建概念的意識還不強，自主探究的能力還不夠。向量的線性運算既是基礎也是思維定式，其運算過程和結果可能對學生理解數(shù)量積產生一定的干擾，因為數(shù)量積的運算結果是數(shù)量，不是向量，運算不封閉，學生是首次遇到，對于知識同化與心理順應可能有一定的障礙和困難.對投影和投影向量的理解也將是本節(jié)課的難點.
平面向量數(shù)量積是從物理中功的實例抽象出來的，并且借助了幾何直觀探究了向量投影概念和投影向量，所以學生原有的物理學習、幾何學習的差異也會直接影響他們對于平面向量數(shù)量積的學習。另外，在探究向量數(shù)量積的運算性質時，與實數(shù)的乘法運算性質進行了類比，學生容易聯(lián)想到向量的數(shù)量積運算有類似的性質，但也會出現(xiàn)“負遷移”，教師要盡可能引導學生舉出一些反例來澄清認識，讓學生體會向量數(shù)量積運算與數(shù)的乘法運算的差異.
基于以上分析，本節(jié)課的教學難點是：（1）向量數(shù)量積概念的形成過程；（2）向量投影的概念和投影向量的意義;（3）向量數(shù)量積運算的運算性質.
教學中，通過創(chuàng)設物理情境，以問題為引導，通過不斷的類比抽象得到數(shù)量積的概念，再創(chuàng)設特定的數(shù)學情境，引出投影向量，并讓學生通過兩個活動得到投影和投影向量的表示，讓學生體會投影向量和數(shù)量積的聯(lián)系，舉出反例，讓學生體會向量數(shù)量積運算與數(shù)的乘法運算的差異.這些都是突破難點的支撐條件.
     四、教學支持條件分析
     為加強學生對投影向量的幾何直觀了解，可以利用信息技術展示不同夾角對應的投影向量，幫助學生理解向量投影的概念和夾角的大小對投影向量的影響.

• 教學設計過程

第一課時
引言：我們學習了平面向量的加法、減法、數(shù)乘運算，積累了一些關于向量運算的學習經驗，你能以向量加法運算為例，總結一下我們是如何研究向量運算的嗎？
師生活動：師生回顧總結向量加法的學習過程：先借助物理中位移的合成引入向量的加法定義及三角形法則，借助力的合成引入向量加法的平行四邊形法則，然后探討了向量加法運算的幾何性質和運算律，最后研究了向量加法的簡單應用.
設計意圖：總結歸納向量加法運算的研究路徑，得到研究數(shù)學運算的一般方法：情境—明確運算對象—定義運算法則—討論運算性質—運算的簡單應用.為本節(jié)課學習向量的數(shù)量積運算做好鋪墊.
問題1：類比數(shù)的運算，你認為我們還可以研究向量之間的哪些運算？
生：向量的乘法.
設計意圖：類比數(shù)的運算引入本節(jié)課的課題.
問題2：物理中有沒有矢量與矢量相乘呢？
師生活動：學生回憶物理中有關矢量的運算，發(fā)現(xiàn)物理中的功是矢量與矢量相乘的結果.教師創(chuàng)設以下情境：
（一）創(chuàng)設物理情境，引入背景
如圖小車在力F的作用下移動了一段位移是S，力和位移的夾角為θ，從物理的角度來看其實質是什么？
生：W=|F||S|cos
（二）分析背景，抽象對象
追問：功是由力和位移這兩個矢量通過乘法運算得到的一個標量，如果去掉這兩個量的物理屬性，我們能不能抽象出向量的另一種運算呢？
師生活動：借助功的計算公式，教師引導學生將物理中的力和位移這兩個矢量抽象為數(shù)學中的向量，功這個標量抽象為數(shù)學中的數(shù)量，矢量的夾角抽象為向量的夾角，這樣就可以定義向量與向量的乘法.
設計意圖：通過創(chuàng)設物理情境，抽象物理對象，讓學生體會數(shù)學概念的生成過程，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng).
（三）類比抽象，生成定義
問題3：類比物理中力與位移的夾角，你能給出兩個向量夾角的定義嗎？夾角的取值范圍又是什么？
師生活動：教師鼓勵學生獨立思考，大膽發(fā)言，引導學生用數(shù)學語言準確表達概念.借助信息技術展示兩個向量夾角大小的變化過程，得到向量夾角的范圍，并指出特殊夾角時，兩個向量的位置關系.
已知非零向量,，是平面上的任意一點，作，則叫做向量與的夾角。
顯然，當時，與同向，當時，與反向，當時，我們說與垂直，記作.
設計意圖：讓學生嘗試給出兩個向量夾角的定義，培養(yǎng)學生的數(shù)學表達能力，學會用數(shù)學語言表達世界,同時也培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng).
牛刀小試：已知為等邊三角形，則
（1）與的夾角為　     �。�    
（2）與的夾角為　     �。�      
設計意圖：通過兩個小練習，加深對向量夾角的理解，第（2）題是學生的易錯題，這里主要提醒學生求向量夾角要將兩個向量起點平移到同一點.
問題4：類比功的計算公式，你能給出向量數(shù)量積的定義嗎？
師生活動：借助功的計算公式，通過類比抽象，學生不難得出向量數(shù)量積的定義：
已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積（或內積），記作，即.
設計意圖：有了向量夾角的概念，得到數(shù)量積的概念自然水到渠成，這里讓學生自主給出數(shù)量積的概念，讓學生體會用數(shù)學語言表達概念的過程，增強學生的語言表達能力.
問題5：任意兩個向量的數(shù)量積都可以用這個公式去計算嗎？
追問：該如何定義零向量與其他向量的數(shù)量積呢？
師生活動：提醒學生注意到定義只適用于非零向量，而對于零向量的數(shù)量積課本有規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.
設計意圖：培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S習慣.
問題6：從結果上看，向量的數(shù)量積這種運算和前面的三種向量運算有沒有不同之處？其結果由什么決定？
師生活動：學生自主思考，并請學生回答.
設計意圖：提醒學生注意向量數(shù)量積的結果是數(shù)量，不是向量，也正是這點不同，溝通了向量運算與數(shù)量之間的關系.其結果由兩個向量的長度及夾角決定.

• 例題互動，深化概念理解

例1 已知根據(jù)下列條件，求
（1）;    （2）;   （3）與的夾角為.
變式：練習2中條件不變，若，求的夾角.
師生活動：學生獨立完成并請部分學生作答.
設計意圖：通過例1及變式，加深學生對數(shù)量積概念的的理解，理解數(shù)量積、長度、夾角之間的關系，體會知三求一的方程思想，培養(yǎng)學生數(shù)學運算素養(yǎng).

• 創(chuàng)設數(shù)學情境，發(fā)現(xiàn)投影向量

例2在等邊三角形中，，為的中點，為線段上一點，

1. 若與重合,求;
2. 若,求;
3. 若，求;

變式：若為線段上任一點，結果又如何？
師生活動：學生獨立完成例2（1）-（3），教師請部分學生回答，提出疑問，提出變式.變式由于夾角不好求，大部分學生會遇到困難，此時教師適時引導學生結合幾何圖形，從“形”的角度分析得到，再引導學生觀察發(fā)現(xiàn)，與同向，故.也就是說向量與的數(shù)量積等于向量與的數(shù)量積.教師從物理背景出發(fā)，給出解釋：力對物體所做的功實際上是力在位移上分力所做的功.類比到數(shù)學中，我們可以說向量與的數(shù)量積等于向量在向量上的“分向量”與向量的數(shù)量積.這樣學生從的幾何意義和物理背景兩個角度關注到了向量.在數(shù)學中我們稱向量為投影向量.這樣就順利地引入可投影向量的概念.
設計意圖：通過三組數(shù)量積相等，引發(fā)學生思考，提出變式，引導學生從“形”的角度分析，發(fā)現(xiàn)投影向量，突破難點.讓學生體會數(shù)形結合的思想方法.同時也培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理素養(yǎng).

• 借助幾何直觀，探究投影向量

學生活動一：參照力在位移方向上分力的作圖方法，做出在方向上的投影向量.

師生活動：展示部分學生的成果，并請學生敘述作圖過程，得到投影概念.
設是兩個非零向量，我們考慮如下變換：過的起點和終點，分別做所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
設計意圖：讓學生通過動手作圖，發(fā)展直觀想象的核心素養(yǎng)，并且通過對作圖過程的描述，引導學生得到投影和投影向量概念，培養(yǎng)學生科學、嚴謹?shù)赜脭?shù)學語言科表達的能力。
學生活動二：小組討論，合作交流
分析投影向量的方向和大小

的 范圍
作圖
投影向量方向
投影向量的長度
投影向量

師生活動：結合表格，教師先以向量夾角為銳角為例，引導學生推出投影向量的方向和長度，進而得到投影向量代數(shù)表示，其中是與同向的單位向量，剩余的四種情形讓學生進行小組交流，然后教師展示部分學生成果，并用幾何畫板演示向量夾角變化時，在方向上的投影向量及夾角大小對投影向量的影響，最后師生一起歸納得到投影向量向量的表達式.有了投影向量，,這樣我們就將兩個不共線的向量的數(shù)量積轉化為了兩個共線向量的數(shù)量積，實現(xiàn)了“降維”的目的，這也是投影向量的意義所在.
設計意圖：小組討論，合作交流，增強學習氛圍，讓學生從“形”和“數(shù)”兩個角度研究投影向量，得到投影向量的代數(shù)表示，不但加深了對投影向量的理解，同時也發(fā)展了學生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。

• 沉淀反思 課堂小結

1. 回顧并敘述得出數(shù)量積定義的研究思路，在這個過程中，你有哪些收獲？
2. 計算數(shù)量積的方法有哪些？通過本節(jié)課的學習，你認為可以解決哪些與向量有關的問題。

設計意圖：以提綱的形式幫助學生回顧本節(jié)課的研究思路、基本知識和基本方法，讓學生感悟數(shù)形結合、類比推理、分類討論等數(shù)學思想在研究數(shù)學中的作用，同時也幫助學生養(yǎng)成總結反思的習慣。
（八）布置作業(yè)
1.課后作業(yè)：課本P20第1、2題;
2.課后思考：類比數(shù)的乘法運算，猜想并證明數(shù)量積的運算律，并思考它與數(shù)的乘法運算律有哪些區(qū)別.
設計意圖：課后作業(yè)是為了考查學生對平面向量數(shù)量積、投影向量的掌握.課后反思為下節(jié)課研究數(shù)量積的運算律做鋪墊.
第二課時

• 創(chuàng)設情境，探討數(shù)量積運算性質

問題1 當一個向量為特殊向量時，兩個向量的數(shù)量積有怎樣的特殊性？
師生活動：先引導學生回顧所學特殊向量，然后由學生自主得出數(shù)量積運算性質：
（1）.
設計意圖：引導學生將向量特殊化得到數(shù)量積的性質，讓學生了解性質的由來.
問題2 當兩個向量的位置關系特殊時，它們的數(shù)量積有怎樣的特殊性？
師生活動：教師提問學生兩個向量的特殊位置關系有哪些，然后由學生自主探究得出數(shù)量積運算性質：（2）；這里教師提出問題：此結論反之成立嗎？引導學生探究得出當時，有或或，故反之不一定成立，但當為非零向量時，有.（3）當與同向時，；當與反向時，，特別地，或.這里教師需要指出是計算向量模長的重要公式，即模方公式.
設計意圖：讓學生進一步理解向量的數(shù)量積由兩個向量的模長和夾角的余弦值共同決定，并理解兩個向量的垂直關系。
問題3 設為非零向量，與有怎樣的大小關系？
師生活動：引導學生得到.
設計意圖：幫助學生理解兩個向量數(shù)量積的絕對值與這兩個向量模長乘積的關系.
（二）探究數(shù)量積運算的運算律
與向量的線性運算一樣，定義了向量的數(shù)量積后，就要研究數(shù)量積運算是否滿足一些運算律.類比數(shù)的乘法運算律，結合向量的線性運算律，請你猜想數(shù)量積有哪些運算律？
師生活動：先讓學生類比數(shù)的乘法運算律，結合向量的線性運算律猜想數(shù)量積的運算律，然后讓學生自主思考，如何驗證.對于交換律和與數(shù)乘的結合律，學生不難證明，但對于分配律的證明，學生有一定的困難，這里教師要引導學生運用向量投影來證明，關鍵是要引導學生得出向量在向量上的投影向量等于向量在向量上的投影向量的和.為了說明這一點，關鍵是證明,利用這一等式學生能方便地證明結論.在這個過程中難點是構造圖形，教師可以讓學生先自主動手畫草圖，再借助幾何畫板畫板畫出不同情形的輔助圖形，幫助學生直觀認識投影向量的關系.對于結合律的驗證，學生不難得出是不滿足的，此處更重要的是要提醒學生類比推理是一種很好發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法，但一定要加以驗證，類比得出的結論不一定正確.
設計意圖：學生類比數(shù)的乘法運算律，結合向量的線性運算律猜想數(shù)量積的運算律，并借助數(shù)量積的定義和向量投影加以驗證，幫助學生積累研究運算律的經驗，提升直觀想象、邏輯推理素養(yǎng).
（三）典例分析
例1 我們知道，對于任意,恒有
，.
對任意向量，是否也有下面類似的結論？
（1）；
（2）.
設計意圖：運用向量數(shù)量積的分配律推導出以上結論，這些結論與實數(shù)中的結論類似.
例2 已知，，與的夾角為，求.
變式1 上述條件不變，求.
變式2 上述條件不變，求向量與的夾角.
設計意圖：例2及其變式都是向量數(shù)量積及其運算律的綜合應用，旨在培養(yǎng)學生數(shù)學運算素養(yǎng).
例3 已知，，且與不共線，當為何值時，向量與互相垂直？
設計意圖：理解兩個向量的垂直關系，能借助向量數(shù)量積解決向量垂直問題.
（四）沉淀反思 課堂小結
（1）本節(jié)課研究了平面向量的哪些性質和運算律，是通過什么方式進行研究的？
 
（2）通過本節(jié)課的學習，你認為可以解決哪些與向量有關的問題。
設計意圖：以提綱的形式幫助學生回顧本節(jié)課的研究思路、基本知識和基本方法，讓學生感悟數(shù)形結合、類比推理等數(shù)學思想在研究數(shù)學中的作用，同時也幫助學生養(yǎng)成總結反思的習慣。
（五）布置作業(yè)
教科書P22練習 1、2、3；習題6.2 18、20
 

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