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視頻課題：新教材人教A版高中數學必修第二冊（省優質課）6.3.3 平面向量加、減運算的坐標表示

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6.3.3 平面向量加、減運算的坐標表示

6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示
6.3.3 平面向量加、減運算的坐標表示

【內容和內容解析】

1. 內容

平面向量的正交分解及坐標表示，平面向量加、減運算的坐標表示.
2.內容解析
本節內容選自《普通高中課程標準數學教科書》（人教A版）必修第二冊第六章《平面向量及其應用》第三節的第二課時，是在學生學習了平面向量基本定理之后的重要內容，平面向量的正交分解及坐標表示是平面向量基本定理的特殊情形，為進一步學習平面向量的坐標運算提供了理論基礎，平面向量加、減運算的坐標表示為后續繼續研究平面向量數乘運算的坐標表示、平面向量數量積的坐標表示提供了基本的模式，起著承上啟下的作用.
平面向量基本定理告訴我們，平面內的任一向量都可唯一分解為兩個不共線的向量的線性組合，而不共線的兩個向量中，垂直是一種重要的特殊情形，如果選取互相垂直的向量作為基底，會給問題的研究帶來方便，因此，平面向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一種分解.由點在直角坐標系中的表示得到啟發，在平面直角坐標系中表示一個向量最方便的是分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底，這時，對于平面直角坐標系內的一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x,y，使，于是，平面內的任一向量都可由x,y唯一確定，而有序數對(x,y)正好是向量的終點坐標，這樣的“巧合”使平面直角坐標系內的向量與坐標建立起一一對應，從而實現向量的“坐標化”，使我們在使用向量工具時，得以實現“有效能算”的思想.平面向量加、減運算的坐標表示完善了平面向量的坐標表示，將向量的坐標與向量的起點、終點坐標聯系起來，實現了向量的坐標與點的坐標之間的對應關系.
平面向量的正交分解及坐標表示蘊含著豐富的數學思想，如轉化化歸、數形結合的思想.引入向量的坐標表示可使向量運算完全代數化，將數與形緊密結合起來，這就可以使很多幾何問題的解答轉化為學生熟悉的數量運算，有助于培養學生數學抽象、數學運算的核心素養.
基于以上分析，可以確定本節課的教學重點：平面向量的坐標表示的理解和平面性向量加、減運算的坐標表示.
 
【目標和目標解析】
1.目標
（1）理解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標表示的定義，具體要求：（1）能寫出給定向量的坐標，2）給出坐標能畫出表示向量的有向線段；
（2）掌握向量的坐標與表示該有向線段起、終點坐標的關系，具體要求：（1）知道起點在坐標原點時，向量的坐標就是終點坐標；（2）向量的坐標等于終點坐標減去起點坐標；
2.目標解析
達成上述目標的標志是：

1. 經歷向量的幾何表示——線性表示——坐標表示的實現過程，體會由特殊到一般的研究問題的方法，體會由“形”到“數”的數形結合思想及與點的坐標關系的類比思想.

（2）借助平面直角坐標系，掌握平面向量的坐標表示，理解向量與坐標之間的一一對應關系，感受求向量的坐標的基本途徑.
【教學問題診斷分析】
學生在本節課之前已經學習了平面向量基本定理，為本節課建立向量的坐標提供了邏輯基礎，因為只有確定了任意一個向量在兩個不共線的基底上能進行唯一分解，建立坐標系才有了依據，同時，只有正確地構建向量的坐標才能有向量的坐標運算.但是，學生對為什么選擇互相垂直的單位向量為基底存在認知困難，而且向量的坐標與點的坐標之間的區別會造成部分學生理解上的混淆.由此可以確定本節課的教學難點是對平面向量正交分解及坐標表示生成過程的理解.
平面向量正交分解及坐標表示的生成過程的教學，對學生數學抽象、邏輯推理等數學學科核心素養的培養至關重要.為了克服以上教學難點，教學中沒有簡單地告訴學會選取互相垂直的單位向量為基底，而是以問題為誘導，步步遞進，引導學生對比、發現其中的優越性.在對比向量的坐標與點的坐標的區別時，通過具體事例，自然過渡，發現規律，引導學生經歷從具體到抽象、從特殊到一般的思維過程.
【教學支持條件分析】
在平面向量正交分解及坐標表示的生成過程中，利用多媒體動畫，改變所要表示的向量，體會系數的變化，幫助學生理解基底選取的合理性，通過信息技術演示向量的坐標與向量終點坐標的變化，幫助學生體會向量與坐標之間的一一對應關系.
 
【教學過程設計】

教學流程	教師活動	學生活動	設計意圖
（一）復習引入，溫故知新	回顧：平面向量基本定理的內容是什么？ 平面向量基本定理告訴我們，平面內所有向量都可以用平面的一組基底表示出來，以轉化與化歸為思想達到化繁為簡的目的，那么，恰當的選擇基底（盡可能特殊化的基底），將帶來更加便利的向量表示及運算。我期待ing,你呢？……	回顧復習	通過復習上節所學知識，引入新課，建立知識間的聯系，提高學生概括、類比推理的能力。
（二）剖析背景，引入概念	情境1：已知一個光滑斜坡上放著一個重為G的物體，如圖：     情境2： 思考：以上力在分解的過程中，兩個分力有什么共同特征？ 平面向量正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.	動手作圖	在學生已有的認知結構上設置障礙，產生認知沖突，激發學習興趣。
（三）問題誘導，探究本質	B P 問題1：如圖，向量是兩個互相垂直且長度分別為2，1的向量，向量與的夾角是30°，且，以向量為基底，向量如何表示？                問題2：若該題中的基底的長度都為1，則表示的結果是什么？有何優越性？ 問題3：如圖所示，改變向量的位置，其他條件不變，則向量的分解結果又如何？ 問題4:類比平面直角坐標系中點的表示方法，探討如何表示直角坐標平面內的一個向量？ 追問1：如何選擇基底，會給問題帶來方便？ 追問2：如何用基底表示？ 追問3：向量由誰唯一確定？你能類比點的表示方法來表示 嗎？	動手操作 師生合作	以問題串的形式引導學生體會基底選取的優越性，一步步生成平面向量的坐標表示.

（四）歸納總結，形成規律

平面向量的坐標表示：對于平面內的任一向量，有且只有一對實數，使得            這樣，平面內的任一向量都可由唯一確定，我們把叫做向量的（直角）坐標，記作①，其中，叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，①式叫做向量的坐標表示. 練習1：試求出向量的坐標. 練習2：分別用基底表示向量,并寫出它們的坐標。 追問：由向量的坐標，對比點A,B,C的坐標，你發現了什么規律？ 問題5：以原點O為起點作，點A的位置由誰確定? 問題6：點A的坐標與向量的坐標的關系？ 問題7：點A的坐標與向量的坐標的關系？ 判斷：（1）兩個向量的終點不同，則這兩個向量的坐標一定不同. (     ) （2）當向量的起點在坐標原點時，向量的坐標就是向量終點的坐標.（    ） （3）點的坐標與向量的坐標相同.（   ）

討論交流 歸納總結           動手演算，感知規律并積極探索

提供學生發現規律的引導題解，讓學生在不知不覺中發現規律，建立點的坐標和向量的坐標之間的關系，體會從具體到抽象、從特殊到一般的基本思想.

（五）例題分析，學以致用	例1：如圖，分別用基底表示向量，并求它們的坐標。	討論交流 師生合作	進一步理解平面向量的坐標表示，體會向量的坐標與點的坐標的關系.
（六）師生合作，探究新知	探究：回憶幾何表示下的向量的研究過程，思考用坐標來表示向量（向量的代數表示）之后，接下來應該研究向量的什么內容？ 問題8：已知，你能得出的坐標嗎？ 練習:已知，求的坐標. y 探究：如圖，已知，求的坐標. 問題9:你能在上圖中標出坐標為的點Ｐ嗎？	思考交流	回憶向量研究的一般過程，體會研究向量問題的基本思路. 通過向量加、減運算的坐標表示進一步完善向量的坐標表示，體會向量的坐標與向量的起點坐標、終點坐標的關系.
（七）學以致用，鞏固新知	練習：（1）已知A(-2,1),B(1,3),則___,____． （2）已知,A(-2,1),則B的坐標為_____． （3）已知,B(-2,1),則A的坐標為_____． 例3:如圖，已知平行四邊形的三個頂點A、B、C的坐標分別是，試求頂點D的坐標. 思考:請你比較一下不同解法在思想方法上的異同點嗎？	學生口答，演算	一組小題考查學生對向量的坐標與向量起點、終點坐標之間關系的理解. 例題從多角度考慮，體會不同解法背后蘊含的思想方法.
（八）總結整理， 提高認識	本節課，你學習了哪些知識？又掌握了哪些思想方法？	回顧小結	從知識要點和思想方法兩方面對課堂教學進行小結.
（九）布置作業	鞏固作業：練習1,2,3 拓展作業：習題6.3  3,4	課后鞏固	布置作業，鞏固所學知識.

 

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