視頻標簽：函數(shù)的單調(diào)性

所屬欄目：高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學人教A版必修一1.3.1《函數(shù)的單調(diào)性與最大（小）值》甘肅省優(yōu)課

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高中數(shù)學人教A版必修一1.3.1《函數(shù)的單調(diào)性與最大（小）值》甘肅省優(yōu)課

1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與最大（小）值 
（第一課時）教學設計    
   一、教材分析 
(一) 教材的地位和作用 
從單調(diào)性知識本身來講.學生對于函數(shù)單調(diào)性的學習共分三個階段，第一階段是在初中學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識；第二階段是在高一進一步學習函數(shù)單調(diào)性的嚴格定義，從數(shù)和形兩個方面理解單調(diào)性的概念；第三階段則是在高三利用導數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性。 
單調(diào)性是函數(shù)的第一個重要性質(zhì)，從知識結構上看，它既是函數(shù)概念的延伸和擴展，又為后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性奠定了基礎，對進一步探索、研究函數(shù)的其他性質(zhì)有著示范作用,它在整個高中數(shù)學知識中起著承上啟下的作用     (二)教材的重難點 
重點：函數(shù)單調(diào)性的概念，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性. 難點：引導學生歸納出函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)
的單調(diào)性. 
二、學情分析 
1.有利因素：在初中階段，學生對函數(shù)的單調(diào)性已經(jīng)有了“形”的直觀認識，知道用“y隨x的增大而增大或減小”描述圖像的“上升”或“下降”， 具備一定的觀察、類比、分析、歸納的學習能力.     2. 不利因素，甘肅甘南是民族地區(qū)，絕大多數(shù)學生是民族生，
 
                    
             
                    
                             
根據(jù)民族生的特點，識記是強項，但邏輯思維水平不高,抽象概括能力不強,推理論證能力也比較薄弱,還需要在單調(diào)性定義的形成和用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的過程中進一步培養(yǎng)和加強. 三、教學目標 (一)知識與技能： 
1、理解函數(shù)單調(diào)性的概念。 
2、會根據(jù)函數(shù)的圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性。 3、能根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性。 (二)過程與方法： 
1、培養(yǎng)學生利用數(shù)學語言對函數(shù)單調(diào)性概念的概括能力。   
2.利用函數(shù)圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性，使學生領會數(shù)形結合的數(shù)學方法。 
3、通過用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，進一步加強學生的邏輯推理能力。 
(三)情感態(tài)度與價值觀：  
1.通過學生熟悉的生活背景導入，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。 2.通過問題串的引入，學生積極參與教學活動，獲得成功的體驗，增強了學生學習數(shù)學的信心。 四、教學模式： 
 (一) 教學模式：四步導學    
   1.創(chuàng)設情境，導入課題；  2.探索歸納，形成概念 3.實踐訓練，深化理解；  4.總結反思，提高認識 
 (二) 模式的基本理念：以學生為主體，注重概念的形成過程和定義
 
                    
             
                    
                             
的應用實踐。 
(三) 模式的基本原則：直觀感受，啟發(fā)引導，鞏固訓練。 (四) 模式的實施策略：以學生熟悉的生活背景導入，以單調(diào)性定義
的形成和應用為主線，按“四步導學法”完成一本節(jié)課的教學。 五、教學方法 
1.教法：啟發(fā)引導法、從抽象到具體，從特殊到一般的方法. 2.學法：數(shù)形結合法、小組合作探究法、類比法。  六、教學過程： 
 
教學環(huán)節(jié) 教學內(nèi)容 
學生活動 
設計意圖      環(huán)  節(jié)  一   
一、創(chuàng)設情境，導入課題 
情景1.上圖是2016年8月20日在我們甘肅省甘南藏族自治州舉行的
“2016早子溝金礦杯甘南藏地傳奇自
行車賽”24小時內(nèi)的氣溫變化圖，請同學們
觀察圖象，然后思考兩個問題。 
問題1 怎樣描述氣溫隨時間的增大而變化的情況？ 
問題2 怎樣用數(shù)學語言來刻畫上述時段內(nèi)“隨著時間的增大氣 溫逐漸升高”這一特征？ 
 
    
學生通過對圖像的觀察，進行思
考問題1,2.  
 
  
以學生熟悉的事物為背景提出問題， 激發(fā)學生的學習興趣，為突破難點做好鋪墊,從而自然導入課題。   
    
二、探索歸納，形成概念 
溫故知新 ：由已知的直觀圖象探究函數(shù)單調(diào)性的概念 問題1：觀察如圖一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，指出上面兩個圖象在哪個區(qū)間是上升的，哪個區(qū)間是下降的？ 
 
學生回答：  1）函數(shù)y=x的圖象從左到右上升，即在區(qū)間（-∞，+
 
用提問的方式，引導學生用圖形語言和自然語言對函數(shù)單調(diào)性進行描述，合理設置層次，為揭示函數(shù)單調(diào)性定義
 
                    
             
                    
                             
  環(huán)       節(jié)       二             
﹙1﹚y=x     ﹙2﹚2yx          
問題2;觀察2
yx 的圖象，換一種角度
分析隨自變量x 的變化，對應函數(shù)值y 的 
 變化情況？ 
 
問題3：如何用符號語言描述“隨著 x 的增大，相應的 y 隨著增大”“隨著x 的增大，相應的 y 隨著減小” 
圖形語言→文字語言→符號語言 
特殊→一般 抽象→具體 感性→理性 
1.增函數(shù)的定義： 
一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2 ，當12xx時，都有
12()()fxfx，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間
D上是增函數(shù)。 
問題4：同學們能否類似地得出減函數(shù)的定
∞）都上升. 2）函數(shù)2yx在y軸的左側(cè)(-∞,0]下降、右側(cè)（0,+∞)上升.  
   
 
圖形語言→文字語言 
在y軸右側(cè)，y隨x增大而增大； 在y軸左側(cè)，y隨x增大而減小. 
 
  
任取 x1、x2∈（0,+∞)，
當12xx時，都有12()()fxfx， 
任取 
x1、x2∈(-∞,0)， 當12xx時，都有12()()fxfx，  
問題3：同學們能否類似地得出減函數(shù)的定義？（學生
討論、回答） 
   
的本質(zhì)做好鋪墊。  
  
從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認識．              
 
引導學生將圖像語
言、自然語言轉(zhuǎn)化為符
號語言，把對單調(diào)性的
認識由感性上升到理性
認識的高度。 
 
   
  
.
 
把對單調(diào)性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調(diào)性的方法，為第三階段的學習做好鋪墊.  
 
                    
             
                    
                             
 環(huán)    節(jié)    二          環(huán)   節(jié)   三    
義？（學生討論、類比回答） 學生回答：略 師生共同得出： 2.減函數(shù)的定義： 
一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2 ，當
12xx時，都有
12()()fxfx，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。 
3.單調(diào)區(qū)間定義： 
如果函數(shù)yfx在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)yfx在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做 
yfx的單調(diào)區(qū)間. 
 
三、實踐訓練，深化理解 
例1 下圖是定義在區(qū)間
5,5上的函數(shù)
yfx，根據(jù)函數(shù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？  師生活動：學生觀察圖象，獨立完成，教師解答學生在解決問題過程中出現(xiàn)的問題．如： ①單調(diào)區(qū)間是定義域的子集； ②本題中，如果用并集符號，不符合單調(diào)性定義； ③本題中，區(qū)端點處有意義，那么區(qū)間開    
通過問題進一步分析概念中關鍵詞的含義，提
升對概念的準確
理解。 
 
        
學生能夠通過函數(shù)
圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，加深對函
數(shù)單調(diào)性概念的理解．分析解決問題 
針對學生可能出現(xiàn)
的問題，組織學生
討論、交流。  
 
 
 
 
 
 
 
 
                       
 
例1的解決讓學生
學會通過函數(shù)圖象來判
斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及在
各區(qū)間的單調(diào)性。 
學生進一步理解單
調(diào)函數(shù)定義，鞏固證明單調(diào)函數(shù)的方法，并謹
慎使用并集符號。    
 
  
 
 
 
 
 
 
 
                    
             
                    
                             
         環(huán)      節(jié)      三        
閉都可以． 強調(diào)：多個單調(diào)區(qū)間用“，”或“和”字，不用并集符號“∪” 例2.證明函數(shù)()21fxx在R上是減
函數(shù)． 
證明：任取2121,∈,xxRxx<且,          取值 1212()()(21)(21)fxfxxx   
1212
12212121222()2()xxxxxxxx          ,021xx<< 0-12>∴xx        
∴,0)(-)(21>xfxf即),()(21xfxf> ∴函數(shù)()21fxx在R上是減函數(shù)       
總結證明函數(shù)單調(diào)性的步驟： 
1.取值:任取x1、x2屬于給定區(qū)間，且
12xx；
 
2.作差:差12()()fxfx； 
3.變形：變形的常用方法有:因式分解、配
方、有理化等； 
4.定號:確定12()()fxfx的正負； 5.判斷（下結論）:由定義得出函數(shù)的單調(diào)性。 練習： 
1.用定義法證明函數(shù)1
yx
的單調(diào)性. 
 2.證明 函數(shù)(0)k
ykx
的單調(diào)性. 
 
   
分析： 
根據(jù)學情分析，在
處理例2時，考慮
到學生對作差后的變形和對因式符號
的判斷有一定的難度，教學中，我采
取一邊分析，一邊板演證明過程的方
法來解決這一難題，然后提煉基本
步驟，強化變形的
方向和符號判定方
法，接著讓學生板
演實踐。 
 
 
 
 
學生獨立完成。教師解答學生遇到的問題。如：區(qū)間分別為減函數(shù)，是否能將兩個區(qū)間并起來說是減函數(shù)。 學法指導： 1、分區(qū)間判斷函數(shù)的單調(diào)性. 2、一般地，作差后要變形到因式的積或商的形式利于判斷性質(zhì)符號. 
 
    
通過例2，既鞏固了函數(shù)單調(diào)性的概念，也讓學生領悟到利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的基本步驟。                       
練習為了使學生對函數(shù)單調(diào)性的定義和判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有更進一步的理解和掌握。  
 
                    
             
                    
                             
 環(huán)  節(jié)  四 
 
四、歸納小結，提高認識 
1.增函數(shù)、減函數(shù)的定義； 2.圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性：增函數(shù)的圖象
從左到右上升，減函數(shù)的圖象從左到右下降. 3.（定義法）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設值、作差、變形、判號、下結論。 
 
學生小組合作，交
流展示，教師指導
評價 學生回顧，總結.  
以自我小結的形式，回顧與梳理本節(jié)知識。可幫助學生自行構建知識體系，理清知識結構，盡快將所學知識內(nèi)化為素質(zhì)。  
 環(huán) 節(jié) 五  布置作業(yè)： 
1、課本習題P39頁A組1、2（必做） 2、畫出函數(shù)               的圖像，判斷它的單調(diào)性，并加以證明。（選做）  
 
學生通過作業(yè)進行課外反思，通過思考發(fā)散  
針對我校高一學生素質(zhì)的差異，采取分層作業(yè)，滿足不同層次學生的要求。 
 
 
七、板書設計： 
 
     1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與最（大）小值                     
一. 情景導入 二、概念形成 
1.增函數(shù)的定義 2.減函數(shù)的定義 
3.單調(diào)函數(shù) 
三.應用舉例  例1 
例2                 
設計意圖：加深學生對重點知識的理解和掌握，反饋學生的評價信息。 七、教學反思與評價：
課題：函數(shù)的單調(diào)性
【學法指導】
學生利用15分鐘先精讀一遍教材 ，用紅色筆進行勾畫；再針對預習自學二次閱讀并回答，找出自己的疑惑和需要討論的問題準備課上討論質(zhì)疑。
【學習目標】
`1.準確了解增函數(shù)，減函數(shù)的概念及其定義；
2. 掌握某些簡單的函數(shù)單調(diào)性的判定方法及用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的方法；
【學習重點與難點】
重點：掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：定義法和圖象法，學會運用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)；
難點：..能夠熟練的掌握用定義法證明函數(shù)單調(diào)性及其步驟.
【預習案】閱讀教材第27-29頁，找出疑惑之處，完成新知學習
1、增函數(shù)：設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x₁，x₂，當x₁<x₂時，都有f(x₁)      f(x₂)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是           .
2、減函數(shù)：設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于屬于I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x₁、x₂，當x₁<x₂時都有f(x₁)      f(x₂).那么就是f(x)在這個區(qū)間上是           .
3、單調(diào)區(qū)間：如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說f(x)在這一區(qū)間上具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫f(x)的單調(diào)區(qū)間.
【預習自測】首先完成教材上P32第1、2、3題； P39第1、3題；然后做自測題
1．判斷在（0，+∞）上是          函數(shù)（填“增”、“減”）
【借助圖象，拋物線開口向_____，對稱軸為直線_______，當（0，+∞）時，圖象呈_____趨勢，因此，在（0，+∞）上是______函數(shù)】
2．判斷在（ —∞，1）上是       函數(shù)（填“增”、“減”）【方法同上】
3．下列函數(shù)中，在（0，2）上為增函數(shù)的是（   ）
（A）y=     （B） y=2x-1    （C） y=1-x   （D）y=
4． 函數(shù)y=-1的單調(diào)遞     區(qū)間為             
5．證明函數(shù)f(x)=3x+2在R上是增函數(shù)。【利用定義進行證明】
 
 
 
 
【我的疑問】
 
 
【課內(nèi)探究】首先獨立思考探究，然后合作交流展示
探究一：單調(diào)性相關概念
實踐：畫出函數(shù)y=x 和 y= x²的圖象.
 
 
討論：1、（1）你能描述上面函數(shù)的圖像特征嗎？
（2）根據(jù)y=x 和 y= x²的圖象隨x的增大，函數(shù)值怎樣變化？當x>x時，f(x)與f(x)的大小關系怎樣？
(3)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
2：根據(jù)下圖說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù).
 
增區(qū)間：_______________,函數(shù)是____函數(shù)；
減區(qū)間：_______________,函數(shù)是____函數(shù).
思考：答案能否寫成在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)？
思考并回答：（1）在增函數(shù)(減函數(shù))的:定義中指出定義中的關鍵詞句。
（2）增函數(shù)的定義中，把“當x₁<x₂時，都有f(x₁)<f(x₂)”改為“當x₁>x₂時，都有f(x₁)>f(x₂)”，這樣行嗎?增函數(shù)的定義中，“當x₁<x₂時，都有f(x₁)<f(x₂)”反映了函數(shù)值有什么變化趨勢?函數(shù)圖象有何特點?
（3）從圖象上來看增函數(shù)：從左向右看,圖象是＿＿＿（選填：上升、下降）的；
從圖象上來看減函數(shù)：從左向右看,圖象是＿＿＿（選填：上升、下降）的；
（4）所有函數(shù)是不是都具有單調(diào)性？
（5）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)定義域有何聯(lián)系？
探究二:增函數(shù)、減函數(shù)的證明或判斷
問題1　判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有哪些？
問題2　根據(jù)增函數(shù)或減函數(shù)的定義，你認為證明函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)性的一般步驟有哪些？
 
 
 
例1 下圖是定義在區(qū)間上的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

師生活動：學生觀察圖象，獨立完成，教師解答學生在解決問題過程中出現(xiàn)的問題．
 
 
 
 
 
 
探究點三:　用定義證明函數(shù)單調(diào)性的應用
例2.證明函數(shù)在上是減函數(shù)．
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
隨堂練習：
1. 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（    ）
  A.     B.     C. R    D.不存在
2、若函數(shù)是R上的減函數(shù)，則有（    ）
A.   B.    C.    D.
3. 在區(qū)間上為增函數(shù)的是（   ）
A．       B．        C．             D．+5
4.函數(shù)y=的單調(diào)減區(qū)間為           
5. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是        ，單調(diào)遞減區(qū)間是         .
【個人收獲與問題】
知識：
 
方法：
 
 
【課堂小結】
 
 
 
【課后反思】
 
《函數(shù)的單調(diào)性》教學反思
在研究函數(shù)的性質(zhì)時，函數(shù)的單調(diào)性是一個重要的內(nèi)容，實際上，在初中學習函數(shù)時，已經(jīng)重點研究了一些函數(shù)的性質(zhì)，只是當初時研究較為粗略，未明確給出有關增減性的定義。對于函數(shù)增減性的判斷也主要根據(jù)觀察圖象得出，而本小節(jié)內(nèi)容，正是初中有關內(nèi)容的深化和提高。由于函數(shù)圖象是發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，因此在本節(jié)教學時可以充分利用學生熟悉的背景“藏地自行車賽的氣溫圖”創(chuàng)設教學情境，以利于激發(fā)學生的學習興趣，進而探究函數(shù)的單調(diào)性，還要特別重視讓學生經(jīng)歷這些概念的形成過程，以便加深對單調(diào)性的理解。
通過函數(shù)的單調(diào)性教學，我從以下方面對自己的教學作一個完整的反思，以便更好的發(fā)現(xiàn)不足之處，及時調(diào)整，讓學生更好的學習。
1、教學基本流程：
本節(jié)課的基本流程如下框圖所示，整節(jié)課由淺入深，由具體到抽象，符合學生的認知規(guī)律。
從觀察具體函數(shù)圖象引入 →直觀認識增（減）函數(shù) →定量分析增（減）函數(shù)
                                                   ↓
利用定義證明函數(shù)單調(diào)性←由圖象說出函數(shù)單調(diào)區(qū)間←給出增（減）函數(shù)定義
   ↓
練習、交流、反饋、鞏固→學生歸納小結、教師評價
2、教學重點難點：
本節(jié)內(nèi)容的教學重點確立為：函數(shù)單調(diào)性的概念及判斷或證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟。又因為教學對象是高一新生，并且根據(jù)我們民族生的實際情況，準確進行邏輯推理比較困難，所以把判斷或用定義證明函數(shù)單調(diào)性確立為教學難點。
3、難點化解與教法選擇：
為了使學生能夠更好的掌握重點，理解難點，能夠從知識上、能力上、得到盡可能大的發(fā)展，我采取啟發(fā)誘導、從到具體到抽象，從特殊到一般的教學方法，同時又強調(diào)了數(shù)形結合的思想方法，比較成功的化解了難點。
首先創(chuàng)設情境、激發(fā)興趣。研究實際生活中學生比較熟悉的“藏地自行車賽氣溫圖”問題，充分調(diào)動學生積極性，營造親切活躍的課堂氛圍；滲透建模思想，培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識，通過實例使學生感受單調(diào)性的內(nèi)涵，縮短心理距離，降低理解難度。
其次，探索新知。引導學生經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、 歸納類比的思維過程， 發(fā)展數(shù)學思維能力。 針對函數(shù)圖象，依據(jù)循序漸進原則，設計三個問題，讓學生先通過畫函數(shù)y=x 和 圖象感知函數(shù)的增減性，同時教師利用多媒體的優(yōu)勢，展示圖象，使學生理解增減函數(shù)定義。同時鼓勵學生各抒己見，教會學生與人合作，強化概念的理解，然后師生合作得出增減函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義，在對單調(diào)性的定義舉例應用，最后設計隨堂練習，達到細、深、全面的理解定義，學生經(jīng)歷了“再創(chuàng)造知識”的過程，利于發(fā)展創(chuàng)新意識。
再次，鞏固新知，由感性到理性，引導學生逐步探究利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性和根據(jù)定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性兩種方法。體驗了數(shù)學方法發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。探究時先以基本初等函數(shù)為載體，再深化擴展為函數(shù)的一般性質(zhì)。從而理解掌握二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性。為后面的學習及綜合應用奠定基礎，同時培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和邏輯思維能力。
4、教學預設與改進：
原本預設學生在回答二次函數(shù)圖象變化規(guī)律是上升還是下降會出錯，結果有兩位學生出錯，一位回答圖象是上升的，一位回答圖象是下降的，在強調(diào)指出：在同一個觀察任務中必須按照一定的標準，觀察的順序應沿x軸的正方向即“從左向右”后，錯誤理解得到解決。
預設x₁>x₂ 時有f(x₁₎>f(x₂),函數(shù)為增函數(shù)學生會出錯，結果真就多數(shù)學生出錯，在多次變換形式后，學生對增減函數(shù)的定義式才算理解并得以掌握。
總之，本節(jié)課的教學過程有得有失，基本完成目標要求，感覺比較成功。數(shù)學教學中需要反思的地方很多，我們在教學過程中只有勤分析，善反思，不斷總結，我們的教育教學理念和教學能力才能與時俱進，創(chuàng)造更多的輝煌。
今后，我會在上好一堂課的同時，結合新課程的教學理念進行相應的教學反思，以便不斷提高自己的業(yè)務能力和教學水平，從而更好的服務于學生。
 

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